[dispmath]yy'+x^3-\frac{y^2}{x}=0[/dispmath] Tačno rešenje: [inlmath]y=x\sqrt{-x^2+c_1}[/inlmath], [inlmath]y=-x\sqrt{-x^2+c_1}[/inlmath]
Prvo sam podelio sve sa [inlmath]y[/inlmath] i dobio: [inlmath]y'+\frac{x^3}{y}-\frac{y}{x}=0[/inlmath] i onda: [inlmath]y'-\frac{y}{x}=-x^3y^{-1}[/inlmath].
Onda sam sve podelio sa [inlmath]y^{-1}[/inlmath]:
[dispmath]y'y-\frac{1}{x}y^2=-x^3[/dispmath] Odavde sam uveo smenu: [inlmath]z=y^2[/inlmath], [inlmath]z'=2y\cdot y'[/inlmath], [inlmath]yy'=\frac{z'}{2}[/inlmath] i odatle dobijam:
[dispmath]\frac{z'}{2}-\frac{1}{x}z=-x^3[/dispmath] Potom sam pomnožio sve sa [inlmath]2[/inlmath], odakle imamo: [inlmath]z'-\frac{2}{x}z=-2x^3[/inlmath].
Sada se ova j-na svodi na linearnu, gde je [inlmath]z=uv[/inlmath], [inlmath]z'=u'v+uv'[/inlmath]
[dispmath]u'v+u\left(v'-\frac{2}{x}v\right)=-2x^3[/dispmath] Rešavam deo u zagradi:
[dispmath]v'-\frac{2}{x}v=0[/dispmath] gde dobijam da mi je [inlmath]v=2x[/inlmath], a [inlmath]u'2x=-2x^3[/inlmath], [inlmath]u=-\frac{x^3}{3}+C[/inlmath].
Kako nam je [inlmath]z=uv[/inlmath], dobijam da mi je [inlmath]z=-\frac{2x^4}{3}+2Cx[/inlmath]
Sad, kako sam na početku postavio da mi je [inlmath]z=y^2[/inlmath], samo [inlmath]y=\sqrt{-\frac{2x^4}{3}+2Cx}[/inlmath], [inlmath]y=-\sqrt{-\frac{2x^4}{3}+2Cx}[/inlmath], međutim, to se ne poklapa sa početnim rešenjem, a još uvek ne uviđam gde sam propust napravio.