Stranica 1 od 1

Odrediti (ne)linearnost diferencijalne jednačine

PostPoslato: Utorak, 14. Jun 2022, 20:05
od Acim
Za date diferencijalne jednačine odrediti koja je zavisna a koja nezavisna promenljiva. Odrediti red svake diferencijalne jednačine i napisati koje su linearne:
a) [inlmath]\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\right)+3\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x^2[/inlmath]
b) [inlmath]\left(\frac{\mathrm d^3x}{\mathrm dt^3}\right)-7\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=\cos x[/inlmath]

Što se tiče zadatka pod a, buni me kako da odredim red i da odredim da li je/nije linearna. Jer, [inlmath]\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\right)=y'\cdot y''[/inlmath]. Pretpostavljam da tu ne smem da primenim ono pravilo eksponenata pa da kažem da je [inlmath]3.[/inlmath] reda. Takođe, nisam siguran da li taj oblik narušava pravilo linearnosti?


Kod zadatka pod b, da li ima razlike ukoliko bi sa desne strane strajalo [inlmath]\cos t[/inlmath] umesto [inlmath]\cos x[/inlmath], tj. da li bi u obadva slučaja bile linearne?

Re: Odrediti (ne)linearnost diferencijalne jednačine

PostPoslato: Četvrtak, 16. Jun 2022, 20:16
od desideri
Evo jednog prostog iako ne baš udžbeničkog pravila da lako odrediš linearnost (nelinearnost) diferencijalne jednačine:
Ukoliko je zavisna promenljiva (najčešće [inlmath]y[/inlmath]) prvog stepena sa svim svojim izvodima ([inlmath]y,y',y'',y''',\ldots[/inlmath]) i ukoliko se [inlmath]y,y',y'',y''',\ldots[/inlmath] ne množe međusobno, d.j. je linearna. Recimo, [inlmath]yy'[/inlmath] kvari linearnost.
Red d.j. se lako određuje: diferencijalna jednačina je onog reda koliko je njen najviši izvod. Recimo, imaš kao najviši drugi izvod [inlmath]y[/inlmath] na treći stepen. Nelinearna jednačina drugog reda.
Jednačina pod a) je očigledno nelinearna (množe se prvi i drugi izvod) i drugog reda, jer je najviši izvod drugi izvod.
Jednačina pod b) je trećeg reda (jer je najviši treći izvod ([inlmath]x[/inlmath] je zavisna promenljiva!) i nelinearna, jer [inlmath]\cos x[/inlmath] nije linearno [inlmath]x[/inlmath], nije [inlmath]x[/inlmath] na prvi stepen.
A da je sa desne strane [inlmath]\cos t[/inlmath], to bi bila linearna d.j. trećeg reda, uz to sa konstantnim koeficijentima i nehomogena.

Re: Odrediti (ne)linearnost diferencijalne jednačine

PostPoslato: Subota, 18. Jun 2022, 20:30
od Daniel
Acim je napisao:Jer, [inlmath]\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\right)=y'\cdot y''[/inlmath]. Pretpostavljam da tu ne smem da primenim ono pravilo eksponenata pa da kažem da je [inlmath]3.[/inlmath] reda.

Naravno da ne sme, smelo bi kada bi pisalo npr. [inlmath]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\right)[/inlmath], jer bi to onda bilo [inlmath](y'')'=(y')''=\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)=y'''[/inlmath].
Ali [inlmath]\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\right)[/inlmath] je nešto drugo, to je [inlmath]y'\cdot y''[/inlmath], tj. množenje prvog izvoda i drugog izvoda, a množenjem se ne povećava red izvoda, pa samim tim ni red diferencijalne jednačine.