Diferencijalne jednadžbe drugog reda
Poslato: Sreda, 13. Novembar 2013, 12:49
S obzirom da ću se ovim d.j. daleko najviše baviti, u prvom postu evo osnovnih pravila koja se primjenjuju:
a) linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima
- to su d. j. oblika [inlmath]ay''+by'+cy=f(x)[/inlmath]
- ako je [inlmath]f(x)=0[/inlmath] takvu d. j. zovemo homogena, a ako je [inlmath]f(x)\ne0[/inlmath], d. j. je nehomogena
b) homogene linearne d. j. 2. reda s konstantnim koeficijentima
[dispmath]ay''+by'+cy=0[/dispmath]
- rješavamo tako da formiramo karakterističnu jednadžbu [inlmath]ak^2+bk+c=0[/inlmath] i nađemo njene koeficijente [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath]
Ako je:
c) nehomogene linearne d. j. 2. reda s konstantnim koeficijentima
[dispmath]ay''+by'+cy=f(x)[/dispmath]
- opće rješenje dato je u obliku [inlmath]y=y_H+y_P[/inlmath] gdje je [inlmath]y_H[/inlmath] rješenje pripadne homogene d. j., a [inlmath]y_P[/inlmath] jedno partikularno rješenje nehomogene d. j.
- za neke specijalne oblike funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] možemo primjeniti metodu neodređenih koeficijenata:
- nakon što pretpostavimo oblik rješenja [inlmath]y_P[/inlmath], odredimo [inlmath]y'_P[/inlmath] te [inlmath]y''_P[/inlmath] koje uvrstimo u početnu d. j. iz čega dobijemo neodređene koeficijente
d) metoda varijacije konstanti
- ako funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] ne pripada prethodno navedenim oblicima, za dobivanje [inlmath]y_P[/inlmath] primjenjuje se metoda varijacije konstanti
- ako je [inlmath]y_H=c_1y_1+c_2y_2[/inlmath] rješenje pripadne homogene, tada je opće rješenje dato u obliku [inlmath]y=c_1(x)y_1+c_2(x)y_2[/inlmath]
- nepoznate funkcije [inlmath]c_1(x)[/inlmath] i [inlmath]c_2(x)[/inlmath] određuju se iz sustava jednadžbi
Ako neko ima nešto za oduzeti ili dodati, slobodno.
a) linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima
- to su d. j. oblika [inlmath]ay''+by'+cy=f(x)[/inlmath]
- ako je [inlmath]f(x)=0[/inlmath] takvu d. j. zovemo homogena, a ako je [inlmath]f(x)\ne0[/inlmath], d. j. je nehomogena
b) homogene linearne d. j. 2. reda s konstantnim koeficijentima
[dispmath]ay''+by'+cy=0[/dispmath]
- rješavamo tako da formiramo karakterističnu jednadžbu [inlmath]ak^2+bk+c=0[/inlmath] i nađemo njene koeficijente [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath]
Ako je:
- [inlmath]k_1,k_2\in\mathbb{R},\quad k_1\ne k_2\;\Longrightarrow\;y_H=c_1e^{k_1x}+c_2e^{k_2x}[/inlmath]
- [inlmath]k_1,k_2\in\mathbb{R},\quad k_1=k_2\;\Longrightarrow\;y_H=c_1e^{k_1x}+c_2xe^{k_2x}[/inlmath]
- [inlmath]k_1,k_2\in\mathbb{C},\quad k_{1,2}=m\pm ni,\;\Longrightarrow\;y_H=e^{mx}(c_1\cos nx+c_2\sin nx)[/inlmath]
c) nehomogene linearne d. j. 2. reda s konstantnim koeficijentima
[dispmath]ay''+by'+cy=f(x)[/dispmath]
- opće rješenje dato je u obliku [inlmath]y=y_H+y_P[/inlmath] gdje je [inlmath]y_H[/inlmath] rješenje pripadne homogene d. j., a [inlmath]y_P[/inlmath] jedno partikularno rješenje nehomogene d. j.
- za neke specijalne oblike funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] možemo primjeniti metodu neodređenih koeficijenata:
- [inlmath]f(x)=e^{mx}P_n(x)[/inlmath]
- - ako [inlmath]m[/inlmath] nije korijen karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=e^{mx}Q_n(x)[/inlmath]
- - ako je [inlmath]m[/inlmath] korijen karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=x^\alpha e^{mx}Q_n(x)[/inlmath], gdje je [inlmath]\alpha[/inlmath] kratnost od [inlmath]m[/inlmath] kao korijena karakteristične jednadžbe
- [inlmath]f(x)=e^{mx}[P_1(x)\cos nx+P_2(x)\sin nx][/inlmath]
- - ako [inlmath]m\pm ni[/inlmath] nisu korijeni karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=e^{mx}[Q_1(x)\cos nx+Q_2(x)\sin nx][/inlmath] gdje je [inlmath]\text{st}(Q_1)=\text{st}(Q_2)=\max\left(\text{st}(P_1),\text{st}(P_2)\right)[/inlmath]
- - ako su [inlmath]m\pm ni[/inlmath] korijeni karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=xe^{mx}[Q_1(x)\cos nx+Q_2(x)\sin nx][/inlmath]
- nakon što pretpostavimo oblik rješenja [inlmath]y_P[/inlmath], odredimo [inlmath]y'_P[/inlmath] te [inlmath]y''_P[/inlmath] koje uvrstimo u početnu d. j. iz čega dobijemo neodređene koeficijente
d) metoda varijacije konstanti
- ako funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] ne pripada prethodno navedenim oblicima, za dobivanje [inlmath]y_P[/inlmath] primjenjuje se metoda varijacije konstanti
- ako je [inlmath]y_H=c_1y_1+c_2y_2[/inlmath] rješenje pripadne homogene, tada je opće rješenje dato u obliku [inlmath]y=c_1(x)y_1+c_2(x)y_2[/inlmath]
- nepoznate funkcije [inlmath]c_1(x)[/inlmath] i [inlmath]c_2(x)[/inlmath] određuju se iz sustava jednadžbi
- [inlmath]c_1'(x)y_1+c_2'(x)y_2=0[/inlmath]
- [inlmath]c_1'(x)y_1'+c_2'(x)y_2'=f(x)[/inlmath]
Ako neko ima nešto za oduzeti ili dodati, slobodno.