MATEMANIJA

Hvala ti sve znas
evo ima jos toga hehe

Zapiši u trigonometrijskom obliku:
[dispmath]z=\frac{i-1}{\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}}[/dispmath]
netreba ako te mucim stvarno, malo sam dosadan :S

[dispmath]z=-1+i=\sqrt{2}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/dispmath]
E sad, ovo lako prebaciš u kompleksni oblik.

Zatim samo podeliš sa vrednošću iz imenioca. Dakle, module ćeš podeliti, a donji argument oduzeti od gornjeg.

P.S. Nemoj gomilati zadatke u jednu temu, pogotovo ne ako su oblasti različite.

Milovan je napisao:[dispmath]z=-1+i=\sqrt{2}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/dispmath]
E sad, ovo lako prebaciš u kompleksni oblik.

Zatim samo podeliš sa vrednošću iz imenioca. Dakle, module ćeš podeliti, a donji argument oduzeti od gornjeg.

P.S. Nemoj gomilati zadatke u jednu temu, pogotovo ne ako su oblasti različite.

Ne kuzim -.-
Odakle si ovo dobio?
Samo odjednom iz plusa u minus wut???

Evo imam jos jedan slican. Pa ako vam se da.

Prikaži u trigonometrijskom obliku [inlmath]z=-\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}i[/inlmath]. Izračunaj [inlmath]z^{12}[/inlmath]

Kako misliš "iz plusa u minus"?

Samo sam jednačinu pomnožio i podelio istim brojem, tj. [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath], pa sam taj koren ubacio pod pojedinačne članove aglebarskog zbira.

Ako već nećeš dosetke, može i šablonski.

Najpre onim najstandardnijim postupkom prevodiš kompleksan broj [inlmath]-1+i[/inlmath] iz brojioca u kompleksan oblik.
Nađeš moduo, za broj [inlmath]a+ib[/inlmath] je to [inlmath]\sqrt{a^2+b^2}[/inlmath], odnosno ovde [inlmath]\sqrt{1+1}=\sqrt{2}[/inlmath].

Pošto je ovde [inlmath]a<0[/inlmath] i [inlmath]b>0[/inlmath] argument je [inlmath]\pi+\mathrm{arctg}\frac{b}{a}[/inlmath]
[inlmath]\mathrm{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4}[/inlmath], pa je argument [inlmath]\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}[/inlmath]

Dakle, u brojiocu imamo kompleksan broj oblika [inlmath]\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)[/inlmath]

U imeniocu je kompleksan broj već izražen u trigonometrijskom obliku.

Njihov količnik dobićeš tako što ćeš podeliti module (kod tog drugog je moduo jedan), a argumente oduzeti, pa dobijaš:
[dispmath]\sqrt{2}\Bigg(\cos\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\right)\Bigg)[/dispmath]

A što se tiče ovog novog zadatka, postupak je skoro isti.

Moduo je [inlmath]1[/inlmath].

Pošto su i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] manji od nule, argument je [inlmath]\mathrm{arctg}\frac{b}{a}-\pi[/inlmath]
[inlmath]\mathrm{arctg}\:1=\frac{\pi}{4}[/inlmath], a argument je [inlmath]-\frac{3\pi}{4}[/inlmath]

I zato je polazni broj u trigonometrijskoj formi:
[dispmath]\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)[/dispmath]
Za stepenovanje ti ostaje da primeniš Moavrovu formulu.

Hvala kuzim zadatak
samo mi nije jasno kako si dobio modul [inlmath]=1[/inlmath]?
Meni su i modul i argument dosli drugacije nego tebi. :S
EDIT: modul je tocan tebi, krivo sam racunao -.-
ali mislim da ti je argument kriv. Sve je negativno, znaci ako nacrtam to u koord sustavu onda mi rjesenje dode [inlmath]3.[/inlmath] kvadrant, a [inlmath]\frac{3\pi}{4}[/inlmath] je negdje [inlmath]2.[/inlmath] kvadrant pa ne kuzim.
[dispmath]z=-\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}i\qquad z^{12}=?[/dispmath]
[dispmath]r=\sqrt{x^2+y^2}[/dispmath][dispmath]r=\sqrt{\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2}[/dispmath][dispmath]r=\sqrt{\left(\frac{2}{4}\right)^2+\left(\frac{2}{4}\right)^2}[/dispmath][dispmath]r=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}[/dispmath][dispmath]r=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}[/dispmath][dispmath]r=\frac{\sqrt 2}{2}[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{tg}\:\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-\frac{\sqrt 2}{2}}{-\frac{\sqrt 2}{2}}[/dispmath]
[dispmath]\varphi=45^\circ[/dispmath][dispmath]\varphi_0=45+180=\underline{225^\circ}[/dispmath]
[dispmath]z=\frac{\sqrt 2}{2}\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)[/dispmath]

Evo kako mi je doslo na kraju nakon koristenja moivreovom formulom za potenciranje...
[dispmath]z=-\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}i\qquad z^{12}=?[/dispmath]
[dispmath]r=\sqrt{x^2+y^2}[/dispmath][dispmath]r=\sqrt{\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2}[/dispmath][dispmath]r=\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}[/dispmath][dispmath]r=\sqrt{\frac{4}{4}}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{r=1}[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{tg}\:\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-\frac{\sqrt 2}{2}}{-\frac{\sqrt 2}{2}}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:\varphi=1[/dispmath][dispmath]\varphi=45^\circ[/dispmath][dispmath]\varphi_0=45+180=\underline{225^\circ}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\varphi_0=\frac{5\pi}{4}}[/dispmath]
[dispmath]z=1\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]z=\enclose{box}{\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)}[/dispmath]
[dispmath]z\left(r;\varphi\right)\;\Rightarrow\;z^n\left(r^n;n\varphi\right)[/dispmath][dispmath]\frac{60\pi}{4}=15\pi-14\pi=\enclose{circle}{\pi}[/dispmath]
[dispmath]z^{12}\left(1;12\cdot\frac{5\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]z^{12}\left(1;\frac{60\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{z^{12}\left(1;\pi\right)}[/dispmath]
ili
[dispmath]z^{12}=1^{12}\left(\cos 12\cdot\frac{5\pi}{4}+i\sin 12\cdot\frac{5\pi}{4}\right)[/dispmath][dispmath]\mbox{Rj:}\quad\enclose{box}{z^{12}=1\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)}[/dispmath]

DommY je napisao:ali mislim da ti je argument kriv. Sve je negativno, znaci ako nacrtam to u koord sustavu onda mi rjesenje dode [inlmath]3.[/inlmath] kvadrant, a [inlmath]\frac{3\pi}{4}[/inlmath] je negdje [inlmath]2.[/inlmath] kvadrant pa ne kuzim.

Milovan nije ni napisao da je argument jednak [inlmath]\frac{3\pi}{4}[/inlmath] (to bi zaista i bio [inlmath]2.[/inlmath] kvadrant), već da je jednak [inlmath]-\frac{3\pi}{4}[/inlmath] (to je [inlmath]3.[/inlmath] kvadrant, baš kao što i treba da bude).
Ti si dobio da ti je argument jednak [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath] i to je, zapravo, isto rešenje kao i Milovanovo.
Ne zaboravi na periodičnost trigonometrijskih funkcija.
Ako krenemo u pozitivnom smeru (suprotnom kazaljke sata) opisaćemo ugao od [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath] da bismo došli do traženog broja u kompleksnoj ravni, a ako krenemo u negativnom smeru, do istog tog broja dolazimo opisivanjem ugla od [inlmath]-\frac{3\pi}{4}[/inlmath].