MATEMANIJA

Zadatak ide ovako:
Prikaži rješenja jednadžbe [inlmath]z^3+8=0[/inlmath] u Gaussovoj ravnini.

Za početak, reši ovu jednačinu.
[dispmath]z^3+8=(z+2)\left(z^2-2z+4\right)=0[/dispmath]
Jedno rešenje je onda [inlmath]z=-2[/inlmath], a preostala dva nađeš rešavanjem kvadratne jednačine [inlmath]z^2-2z+4=0[/inlmath]

I onda ta rešenja pozicioniraš u Gausovoj (kompleksnoj) ravni.

Može tako, a može i ovako:
[dispmath]z^3=-8[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{-8}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{8\left[\cos\left(\pi+2k\pi\right)+i\sin\left(\pi+2k\pi\right)\right]}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{\cos\left(\pi+2k\pi\right)+i\sin\left(\pi+2k\pi\right)}[/dispmath][dispmath]z=2\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3}\right)[/dispmath]
što daje tri rešenja, svako od ta tri rešenja ima vrednost modula [inlmath]2[/inlmath], a argumenti su im [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath], [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath].
Drugim rečima, rešenja su u Gauss-ovoj ravni raspoređena u temenima jednakostraničnog trougla, čije je središte u koordinatnom početku.

Milovan je napisao:Za početak, reši ovu jednačinu.
[dispmath]z^3+8=(z+2)\left(z^2-2z+4\right)=0[/dispmath]
Jedno rešenje je onda [inlmath]z=-2[/inlmath], a preostala dva nađeš rešavanjem kvadratne jednačine [inlmath]z^2-2z+4=0[/inlmath]

I onda ta rešenja pozicioniraš u Gausovoj (kompleksnoj) ravni.

Ok.
Jedno rjesenje jedino kuzim a to je ovo [inlmath]z+2=0,\;z=-2[/inlmath] kao šta si napisao.
Onda sam isao racunat ova druga dva rjesenja odnosno ovu kvadratnu jednadzbu i ispod korjena mi se našao [inlmath]-12[/inlmath]! Kako dalje?
[dispmath]z^3+8=0[/dispmath][dispmath]z^3+2^3=\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)[/dispmath]
[inlmath]1^\circ[/inlmath]
[dispmath]z+2=0[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{z_1=-2}[/dispmath]
[inlmath]2^\circ[/inlmath]
[dispmath]z^2-2z+4=0[/dispmath][dispmath]z_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-16}}{2}[/dispmath][dispmath]z_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{-12}}{2}[/dispmath][dispmath]\sqrt{-12}=?[/dispmath]

---

2. način:
[dispmath]z^3=-8[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{-8}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]{8\left[\cos\left(\pi+2k\pi\right)+i\sin\left(\pi+2k\pi\right)\right]}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt[3]8\cdot\sqrt[3]{\cos\left(\pi+2k\pi\right)+i\sin\left(\pi+2k\pi\right)}[/dispmath][dispmath]z=2\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3}\right)[/dispmath]
@Daniel
Mozes malo pojasniti sta si tocno radio dok si rjesavao?
Odakle si izvukao [inlmath]\cos[/inlmath] i [inlmath]i\sin[/inlmath]? Te odakle ti [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]2k\pi[/inlmath]? I što znace oni?

DommY je napisao:ispod korjena mi se našao [inlmath]-12[/inlmath]! Kako dalje?

[inlmath]\pm\sqrt{-12}[/inlmath] napišeš ovako:
[dispmath]\pm\sqrt{-12}=\pm\sqrt{\left(-1\right)\cdot 4\cdot 3}=\pm\sqrt{-1}\sqrt 4\sqrt 3=\pm i2\sqrt 3[/dispmath]

DommY je napisao:@Daniel
Mozes malo pojasniti sta si tocno radio dok si rjesavao?
Odakle si izvukao [inlmath]\cos[/inlmath] i [inlmath]i\sin[/inlmath]? Te odakle ti [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]2k\pi[/inlmath]? I što znace oni?

To ti je predstavljanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, to bi trebalo da znaš, budući da si o tome sinoć čak i pokrenuo temu, evo je ovde.
[inlmath]-8[/inlmath] sam rastavio na [inlmath]8\cdot\left(-1\right)[/inlmath], pri čemu je [inlmath]8[/inlmath] modul tog broja u kompleksnoj ravni, a [inlmath]-1[/inlmath] predstavlja broj čiji je moduo [inlmath]1[/inlmath], a argument [inlmath]\pi[/inlmath], prema tome, to će biti argument sinusa i kosinusa u trigonometrijskom zapisu. Na taj argument dodajemo period [inlmath]2k\pi[/inlmath] jer se vrednost tih funkcija periodično ponavlja posle svake periode koja iznosi [inlmath]2\pi[/inlmath].

Hvala, sad je jasnije!

Evo do kuda sam dosao, sad znaci sam dobio [inlmath]z_1,z_2,z_3[/inlmath] (oznaceno strelicom), kako ta tri rjesenja nacrtati u koord sustavu?
Trebam iz njih nekako dobit 3 točke? kako?
[dispmath]z^3+8=0[/dispmath][dispmath]z^3+2^3=\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)[/dispmath]
[inlmath]1^\circ[/inlmath]
[dispmath]z+2=0[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{z_1=-2}[/dispmath]
[inlmath]2^\circ[/inlmath]
[dispmath]z^2-2z+4=0[/dispmath][dispmath]z_{2,3}=\frac{2\pm\sqrt{4-16}}{2}[/dispmath][dispmath]z_{2,3}=\frac{2\pm\sqrt{-12}}{2}=\frac{2\pm 2i\sqrt 3}{2}[/dispmath][dispmath]z_2=\frac{2+2i\sqrt 3}{2}=\frac{\cancel 2\left(1+i\sqrt 3\right)}{\cancel 2}=\enclose{box}{1+i\sqrt 3}[/dispmath][dispmath]z_3=\frac{2-2i\sqrt 3}{2}=\frac{\cancel 2\left(1-i\sqrt 3\right)}{\cancel 2}=\enclose{box}{1-i\sqrt 3}[/dispmath]

Sad ti je to sasvim jednostavno. Za svako od rešenja imaš realni i imaginarni deo i to su ti koordinate svake tačke. Vrednost realnog dela je jedna koordinata (na realnoj osi, tj. na apscisi), a vrednost imaginarnog dela je druga koordinata (na imaginarnoj osi, tj. na ordinati).
[dispmath]z_1=-2\quad\Rightarrow\quad\left(-2,0\right)[/dispmath][dispmath]z_2=1+i\sqrt 3\quad\Rightarrow\quad\left(1,\sqrt 3\right)[/dispmath][dispmath]z_3=1-i\sqrt 3\quad\Rightarrow\quad\left(1,-\sqrt 3\right)[/dispmath]

Rješeno, hvala!

[dispmath]z^8+(1-i)z^4=i[/dispmath]

Rešavaš kvadratnu jednačinu po [inlmath]z^4[/inlmath].