MATEMANIJA

[dispmath]z+|z+1|+i=0[/dispmath] Da li moze pomoc oko ovog zadatka, nije mi jasno kako da pocnem. Pokusao sam da uradim nesto ovako [inlmath]|z+1|=-z-i[/inlmath] pa da ponistim modul, ali nisam siguran da li to uopste i sme da se radi. Ali verovatno postoji neko jednostavnije resenje.

Modul ne smeš tek tako da poništiš, ali ga možeš napisati kao
[dispmath]|z+1|=|x+iy+1|=|(x+1)+iy|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}[/dispmath] I ono [inlmath]z[/inlmath] na desnoj strani jednačine takođe napiši kao [inlmath]x+iy[/inlmath], pa ćeš dobiti sistem od dve jednačine po nepoznatama [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]...

---

A možeš i odmah iz jednačine [inlmath]|z+1|=-z-i[/inlmath] da zaključiš da, pošto je leva strana realna, tada mora biti realna i desna strana, tj. imaginarni deo od [inlmath]-z-i[/inlmath] mora biti jednak nuli:
[dispmath]\Im[-(x+iy)-i]=0[/dispmath] odatle dobiješ da je [inlmath]y=-1[/inlmath], tj. da je [inlmath]z=x-i[/inlmath]. Uvrstiš to u [inlmath]|z+1|=-z-i[/inlmath]:
[dispmath]|x-i+1|=-(x-i)-i\\
\sqrt{(x+1)^2+1^2}=-(x-i)-i\\
\vdots\\
x=-1\\
\Longrightarrow\quad\enclose{box}{z=-1-i}[/dispmath]