MATEMANIJA

Koliko elemenata ima skup [dispmath]\{i^k+i^-k\}^+\infty[/dispmath] za [inlmath]k=1[/inlmath]?
Potrebna mi je pomoć bar oko ideje za ovaj zadatak. Kako da pronadjem broj elemenata skupa? Rešavala sam kao izraz čime dobijam neodređeno, ali to je bio potpuno pogrešan pristup.

Ako izraz unutar vitičaste zagrade glasi
[dispmath]i^k+i^{-k}[/dispmath]
za taj izraz treba da dobiješ da je jednak nuli za [inlmath]k=1[/inlmath] (i, uopšte, za bilo koje neparno [inlmath]k[/inlmath]).

A ovo ostalo kako je napisano, zaista ne razumem. Proveri jesi li dobro otkucala formulu u Latex-u.

Hvala puno na pomoći. Evo fotografije zadatka. Rešenje treba da je [inlmath]3[/inlmath], a prema upustvu je dato da treba uočiti da je
[dispmath]i^4=1[/dispmath]

Molim te da zadatke ne kačiš kao slike – ako imaš poteškoća s Latex-om, uvek nam se možeš obratiti i pomoći ćemo šta treba. A ako već kačiš slike, onda se makar potrudi da ih umanjiš, umesto što šalješ slike od 1000x1000px rezolucije. Pročitaj tačke 13. i 14. (ali i ostale tačke) Pravilnika.

Zbog osobine da je [inlmath]i^4=1[/inlmath], vrednost izraza [inlmath]i^k[/inlmath] će se periodično ponavljati, a period će biti [inlmath]4[/inlmath]:
[dispmath]i^1=i\\
i^2=-1\\
i^3=-i\\
i^4=1\\
i^5=i^{4+1}=i^4\cdot i^1=1\cdot i^1=i^1=i\\
i^6=i^{4+2}=i^4\cdot i^2=1\cdot i^2=i^2=-1\\
i^7=i^{4+3}=i^4\cdot i^3=1\cdot i^3=i^3=-i\\
i^8=i^{4+4}=i^4\cdot i^4=1\cdot i^4=i^4=1\\
i^9=i^{8+1}=i^8\cdot i^1=1\cdot i^1=i^1=i\\
\vdots[/dispmath]
Zadatak, ispravno napisan, glasi:

Koliko elemenata ima skup [inlmath]\left\{i^k+i^{-k}\right\}_{k=1}^{+\infty}[/inlmath]?

Taj izraz ima isto značenje kao i [inlmath]\left\{\left.i^k+i^{-k}\:\right|\:k\in\mathbb{N}\right\}[/inlmath]. Znači, skup svih vrednosti [inlmath]i^k+i^{-k}[/inlmath] takvih da je [inlmath]k[/inlmath] prirodan broj.

Izvinjavam se zvog grešaka koje sam napravila. Hvala ti na pomoći i izvini još jednom.

Na početku mi je bio neobičan malo ovaj zadatak jer uopšte nisam znao način kako da ga uradim. Evo čak kada si i ti napiso ove stvari meni ponovo nije jasno. Jasno mi je da je periodičnost [inlmath]4[/inlmath] izraza [inlmath]i^k[/inlmath]. Ali kako zaključiti da ovaj skup ima [inlmath]3[/inlmath] elementa? To ne mogu da skontam nikako.

Zaboga, Gamma, stvarno...
[dispmath]i^k+i^{-k}=i^k+\left(i^{-1}\right)^k=i^k+\left(\frac{1}{i}\right)^k=i^k+\left(\frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}\right)^k=i^k+\left(\frac{i}{-1}\right)^k=i^k+\left(-1\right)^ki^k=\left[1+\left(-1\right)^k\right]i^k[/dispmath]
Ovo si zaista mogao i sam da uradiš.

Sad posmatraj odvojeno slučajeve kada je [inlmath]k[/inlmath] neparno, kada je [inlmath]k[/inlmath] parno, kao i podslučajeve...

Možda sam glup,stvarno...
Uopšte nisam razumio zadatak.Koliko vidim skup će biti periodičan sa [inlmath]3[/inlmath] elementa.Mene što je zbunjivalo je to kada su vrijednosti [inlmath]k[/inlmath] različite a dobije se ista vrijednost valjda će postojati [inlmath]2[/inlmath] ista elementa u skupu.Zapravo ima li to smisla? Znam da postoje [inlmath]3[/inlmath] različita elementa u skupu. I ovo za njhovo ponavljanje stvarno ne znam. A uopšte nemam blage veze šta ovo znači.

Daniel je napisao:[dispmath]i^1=i\\
i^2=-1\\
i^3=-i\\
i^4=1\\
i^5=i^{4+1}=i^4\cdot i^1=1\cdot i^1=i^1=i\\
i^6=i^{4+2}=i^4\cdot i^2=1\cdot i^2=i^2=-1\\
i^7=i^{4+3}=i^4\cdot i^3=1\cdot i^3=i^3=-i\\
i^8=i^{4+4}=i^4\cdot i^4=1\cdot i^4=i^4=1\\
i^9=i^{8+1}=i^8\cdot i^1=1\cdot i^1=i^1=i\\
\vdots[/dispmath]

Sada kada si već spomeno podslučajeve na šta si tačno mislio?
Ja sa ovo ovako radio.
[inlmath]k=2p+1[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]0[/inlmath]
[inlmath]k=2p+2[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]-2[/inlmath]
[inlmath]k=2p+3[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]0[/inlmath]
[inlmath]k=2p+4[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]2[/inlmath]

postojace beskonacno elemenata

posmatraj ono [inlmath](-1)^k[/inlmath]

kad je paran broj to je [inlmath]+1[/inlmath]... i onda posmatraj ono [inlmath]i^k[/inlmath] koje je kad je [inlmath]k=2n\;\to\;i^k=-1[/inlmath] a kad [inlmath]k=4n[/inlmath] tada je [inlmath]i^k=1[/inlmath]

znaci kada su parni ti ces imati dvije vrijednosti ustvari imaces [inlmath]-2[/inlmath] kad je [inlmath]k[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]2[/inlmath] i imaces rijesenje [inlmath]2[/inlmath] kad je [inlmath]k[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]4[/inlmath]

sad ispitaj kad je [inlmath]k[/inlmath] neparno

interval ponavljanja ti je [inlmath]4[/inlmath]

[inlmath]i^1=i^5[/inlmath] itd....

pa racunaj ovako kad je [inlmath]k[/inlmath] neparno tada je i samo [inlmath](-1)^k[/inlmath] uvijek [inlmath]=-1[/inlmath] sto znaci da je citav taj proizvod jednak [inlmath]0[/inlmath]... ne moras tu posmatrati ono [inlmath]i^k[/inlmath]

tako da na kraju imas rijesenja [inlmath]-2\;0\;2[/inlmath]

ovo je ono sto ti je daniel rekao da razmatras...

uskoro cu nauciti kako koristiti onaj program da bi ovo bilo preglednije

Sinisa je napisao:postojace beskonacno elemenata

I ja sam tako mislio da će postojati beskonačno mnogo elemenata koji se ponavljaju mislim na ona [inlmath]3[/inlmath].Ali rješenje kaže da skup ima [inlmath]3[/inlmath] elementa. Kako