MATEMANIJA

Koliko elemenata ima skup [dispmath]\{i^k+i^-k\}^+\infty[/dispmath] za [inlmath]k=1[/inlmath]?
Potrebna mi je pomoć bar oko ideje za ovaj zadatak. Kako da pronadjem broj elemenata skupa? Rešavala sam kao izraz čime dobijam neodređeno, ali to je bio potpuno pogrešan pristup.

Ako izraz unutar vitičaste zagrade glasi
[dispmath]i^k+i^{-k}[/dispmath]
za taj izraz treba da dobiješ da je jednak nuli za [inlmath]k=1[/inlmath] (i, uopšte, za bilo koje neparno [inlmath]k[/inlmath]).

A ovo ostalo kako je napisano, zaista ne razumem. Proveri jesi li dobro otkucala formulu u Latex-u.

Hvala puno na pomoći. Evo fotografije zadatka. Rešenje treba da je [inlmath]3[/inlmath], a prema upustvu je dato da treba uočiti da je
[dispmath]i^4=1[/dispmath]

Molim te da zadatke ne kačiš kao slike – ako imaš poteškoća s Latex-om, uvek nam se možeš obratiti i pomoći ćemo šta treba. A ako već kačiš slike, onda se makar potrudi da ih umanjiš, umesto što šalješ slike od 1000x1000px rezolucije. Pročitaj tačke 13. i 14. (ali i ostale tačke) Pravilnika.

Zbog osobine da je [inlmath]i^4=1[/inlmath], vrednost izraza [inlmath]i^k[/inlmath] će se periodično ponavljati, a period će biti [inlmath]4[/inlmath]:
[dispmath]i^1=i\\
i^2=-1\\
i^3=-i\\
i^4=1\\
i^5=i^{4+1}=i^4\cdot i^1=1\cdot i^1=i^1=i\\
i^6=i^{4+2}=i^4\cdot i^2=1\cdot i^2=i^2=-1\\
i^7=i^{4+3}=i^4\cdot i^3=1\cdot i^3=i^3=-i\\
i^8=i^{4+4}=i^4\cdot i^4=1\cdot i^4=i^4=1\\
i^9=i^{8+1}=i^8\cdot i^1=1\cdot i^1=i^1=i\\
\vdots[/dispmath]
Zadatak, ispravno napisan, glasi:

Koliko elemenata ima skup [inlmath]\left\{i^k+i^{-k}\right\}_{k=1}^{+\infty}[/inlmath]?

Taj izraz ima isto značenje kao i [inlmath]\left\{\left.i^k+i^{-k}\:\right|\:k\in\mathbb{N}\right\}[/inlmath]. Znači, skup svih vrednosti [inlmath]i^k+i^{-k}[/inlmath] takvih da je [inlmath]k[/inlmath] prirodan broj.

Izvinjavam se zvog grešaka koje sam napravila. Hvala ti na pomoći i izvini još jednom.

Na početku mi je bio neobičan malo ovaj zadatak jer uopšte nisam znao način kako da ga uradim. Evo čak kada si i ti napiso ove stvari meni ponovo nije jasno. Jasno mi je da je periodičnost [inlmath]4[/inlmath] izraza [inlmath]i^k[/inlmath]. Ali kako zaključiti da ovaj skup ima [inlmath]3[/inlmath] elementa? To ne mogu da skontam nikako.

Zaboga, Gamma, stvarno...
[dispmath]i^k+i^{-k}=i^k+\left(i^{-1}\right)^k=i^k+\left(\frac{1}{i}\right)^k=i^k+\left(\frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}\right)^k=i^k+\left(\frac{i}{-1}\right)^k=i^k+\left(-1\right)^ki^k=\left[1+\left(-1\right)^k\right]i^k[/dispmath]
Ovo si zaista mogao i sam da uradiš.

Sad posmatraj odvojeno slučajeve kada je [inlmath]k[/inlmath] neparno, kada je [inlmath]k[/inlmath] parno, kao i podslučajeve...

Možda sam glup,stvarno...
Uopšte nisam razumio zadatak.Koliko vidim skup će biti periodičan sa [inlmath]3[/inlmath] elementa.Mene što je zbunjivalo je to kada su vrijednosti [inlmath]k[/inlmath] različite a dobije se ista vrijednost valjda će postojati [inlmath]2[/inlmath] ista elementa u skupu.Zapravo ima li to smisla? Znam da postoje [inlmath]3[/inlmath] različita elementa u skupu. I ovo za njhovo ponavljanje stvarno ne znam. A uopšte nemam blage veze šta ovo znači.

Daniel je napisao:[dispmath]i^1=i\\
i^2=-1\\
i^3=-i\\
i^4=1\\
i^5=i^{4+1}=i^4\cdot i^1=1\cdot i^1=i^1=i\\
i^6=i^{4+2}=i^4\cdot i^2=1\cdot i^2=i^2=-1\\
i^7=i^{4+3}=i^4\cdot i^3=1\cdot i^3=i^3=-i\\
i^8=i^{4+4}=i^4\cdot i^4=1\cdot i^4=i^4=1\\
i^9=i^{8+1}=i^8\cdot i^1=1\cdot i^1=i^1=i\\
\vdots[/dispmath]

Sada kada si već spomeno podslučajeve na šta si tačno mislio?
Ja sa ovo ovako radio.
[inlmath]k=2p+1[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]0[/inlmath]
[inlmath]k=2p+2[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]-2[/inlmath]
[inlmath]k=2p+3[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]0[/inlmath]
[inlmath]k=2p+4[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]2[/inlmath]

postojace beskonacno elemenata

posmatraj ono [inlmath](-1)^k[/inlmath]

kad je paran broj to je [inlmath]+1[/inlmath]... i onda posmatraj ono [inlmath]i^k[/inlmath] koje je kad je [inlmath]k=2n\;\to\;i^k=-1[/inlmath] a kad [inlmath]k=4n[/inlmath] tada je [inlmath]i^k=1[/inlmath]

znaci kada su parni ti ces imati dvije vrijednosti ustvari imaces [inlmath]-2[/inlmath] kad je [inlmath]k[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]2[/inlmath] i imaces rijesenje [inlmath]2[/inlmath] kad je [inlmath]k[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]4[/inlmath]

sad ispitaj kad je [inlmath]k[/inlmath] neparno

interval ponavljanja ti je [inlmath]4[/inlmath]

[inlmath]i^1=i^5[/inlmath] itd....

pa racunaj ovako kad je [inlmath]k[/inlmath] neparno tada je i samo [inlmath](-1)^k[/inlmath] uvijek [inlmath]=-1[/inlmath] sto znaci da je citav taj proizvod jednak [inlmath]0[/inlmath]... ne moras tu posmatrati ono [inlmath]i^k[/inlmath]

tako da na kraju imas rijesenja [inlmath]-2\;0\;2[/inlmath]

ovo je ono sto ti je daniel rekao da razmatras...

uskoro cu nauciti kako koristiti onaj program da bi ovo bilo preglednije

Sinisa je napisao:postojace beskonacno elemenata

I ja sam tako mislio da će postojati beskonačno mnogo elemenata koji se ponavljaju mislim na ona [inlmath]3[/inlmath].Ali rješenje kaže da skup ima [inlmath]3[/inlmath] elementa. Kako

Ni ja nisam skapirao tu prvu rečenicu da će postojati beskonačno elemenata – to jednostavno nije tačno.
Ali, Gamma, da si pročitao ceo Sinišin post, video bi da on na kraju ipak kaže da će postojati samo tri elementa – i ta tri elementa su [inlmath]-2[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath].

Još jedna stvar bi mogla da zbuni, pa bih da je na vreme razjasnim.

Sinisa je napisao:i onda posmatraj ono [inlmath]i^k[/inlmath] koje je kad je [inlmath]k=2n\;\to\;i^k=-1[/inlmath] a kad [inlmath]k=4n[/inlmath] tada je [inlmath]i^k=1[/inlmath]

Nije to dovoljno precizno. Tačno je da, kada je [inlmath]k=4n[/inlmath] (tj. kada je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]4[/inlmath]), tada je [inlmath]i^k=1[/inlmath]. Ali, kada je [inlmath]k=2n[/inlmath], tada [inlmath]k[/inlmath] može da ne bude deljivo sa [inlmath]4[/inlmath] i tada će zaista biti [inlmath]i^k=-1[/inlmath], ali [inlmath]k[/inlmath] tada može i da bude deljivo sa [inlmath]4[/inlmath] i tada će biti [inlmath]i^k=1[/inlmath]. Ili, da kažem ovako: [inlmath]2n[/inlmath] označava svaki paran broj, a znamo da su neki parni brojevi deljivi sa [inlmath]4[/inlmath] a neki nisu (svaki drugi paran broj je deljiv sa [inlmath]4[/inlmath]). E, da bismo označili paran broj koji nije deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], moramo ga pisati u obliku [inlmath]k=4n+2[/inlmath]. Znači,
[dispmath]k=4n\quad\Rightarrow\quad i^k=1\\
k=4n+2\quad\Rightarrow\quad i^k=-1[/dispmath]
S tim u vezi je i sledeća nepreciznost:

Sinisa je napisao:znaci kada su parni ti ces imati dvije vrijednosti ustvari imaces [inlmath]-2[/inlmath] kad je [inlmath]k[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]2[/inlmath] i imaces rijesenje [inlmath]2[/inlmath] kad je [inlmath]k[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]4[/inlmath]

Nećemo imati vrednost [inlmath]-2[/inlmath] uvek kad je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]2[/inlmath], već samo onda kad je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]2[/inlmath] a nije deljivo sa [inlmath]4[/inlmath]. Znači, kao što sam malopre napisao, kad je [inlmath]k[/inlmath] oblika [inlmath]4n+2[/inlmath].

Da odgovorim i na Gammin post...

Gamma je napisao:A uopšte nemam blage veze šta ovo znači.

Daniel je napisao:[dispmath]i^1=i\\
i^2=-1\\
i^3=-i\\
i^4=1\\
i^5=i^{4+1}=i^4\cdot i^1=1\cdot i^1=i^1=i\\
i^6=i^{4+2}=i^4\cdot i^2=1\cdot i^2=i^2=-1\\
i^7=i^{4+3}=i^4\cdot i^3=1\cdot i^3=i^3=-i\\
i^8=i^{4+4}=i^4\cdot i^4=1\cdot i^4=i^4=1\\
i^9=i^{8+1}=i^8\cdot i^1=1\cdot i^1=i^1=i\\
\vdots[/dispmath]

Znači upravo to što sam napisao. Postupnije od ovoga zaista ne umem.

Gamma je napisao:Ja sa ovo ovako radio.
[inlmath]k=2p+1[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]0[/inlmath]
[inlmath]k=2p+2[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]-2[/inlmath]
[inlmath]k=2p+3[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]0[/inlmath]
[inlmath]k=2p+4[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]2[/inlmath]

Treba, zapravo, da stoji ovako:
[inlmath]k={\color{red}4}p+1[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]0[/inlmath]
[inlmath]k={\color{red}4}p+2[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]-2[/inlmath]
[inlmath]k={\color{red}4}p+3[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]0[/inlmath]
[inlmath]k={\color{red}4}p+4[/inlmath] vrijednost izraza je [inlmath]2[/inlmath]

A umesto [inlmath]k=4p+4[/inlmath] u poslednjem redu, možeš pisati i samo [inlmath]k=4p[/inlmath], to je isto...

Sinisa je napisao:tako da na kraju imas rijesenja [inlmath]−2\;0\;2[/inlmath]

Sigurno misliš na ovo. Kada je reko rješenje sigurno je mislio na rješenje za periodičnost(elemente koji se ponavljaju) a ne za ukupan broj elemenata. Ne znam barem ja tako mislim. I jesam pročito čitav post.
I da upravu si treba da stoji [inlmath]4[/inlmath] a ne [inlmath]2[/inlmath] kao što sam napiso.

ovo za beskonacno elemenata je moja greska zato sto se odnosilo na ono da ce se jedna vrijednost beskonacno puta ponavljati

ali napisi rijesenje tog skupa, i vidjeces da je ono isto bez obzira koliko ce se ta vrijednost ponavljati... posmatraj ovo kao funkciju (injektivnu) gdje preslikavanjem razlicitih originala se mogu dobiti iste kopije...

koliko tebi elemenata ima skup [inlmath]1^k[/inlmath]? napises mu vrijednosti za razlicito [inlmath]k[/inlmath] [inlmath]111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111[/inlmath] on ima beskonacno istih vrijednosti ali isto tako i ,,samo jedan,, elemenat koji se ponavlja

Dobro jasna mi je poenta priče. Najbolje bi bilo da su napisali koliko skup ima različitih elemenata. Ono nekako mi djeluje zbunjujuće.

procitaj o funkcijama i shvatices da za razlicite vrijednosti originala mogu se dobiti iste kopije ali nikada od istih originala razlicite kopije... sto znaci da jedna slika moze nastati kao preslikavanje (po nekoj zakonitosti) vise pojedinacnih originala...

sto znaci da ti kad je [inlmath]k=2[/inlmath] dobijes isto rijesenje kao i kada je [inlmath]k=6[/inlmath] ... i [inlmath]k=2[/inlmath] i [inlmath]k=6[/inlmath] se vezuju za jednu kopiju... sto znaci da postoji samo ta jedna vrijednost ne postoji kopija i od [inlmath]k=2[/inlmath] i [inlmath]k=2[/inlmath] vec je to jedna kopija... i od te f ne mozes traziti inverznu f ali to je vec neka druga problematika... uglavnom kada [inlmath]k=2[/inlmath] f ima jednaku vrijednost i kao kada je [inlmath]k=2+4n[/inlmath] gdje je [inlmath]n[/inlmath] prirodan broj i svi ti originali se vezuju za JEDNU kopiju... i tako da ces na kraju imati samo [inlmath]3[/inlmath] elementa