MATEMANIJA

Što se dobije sređvanjem ovog izraza?
[dispmath]\left(1-\sqrt 3i\right)z^5+\frac{\left(i+1\right)^8}{\left(i-1\right)^4}z^3+\frac{5-\sqrt 3i}{2+\sqrt 3i}z^2+4\frac{1}{i^{82}}=0[/dispmath]

[dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5+\frac{\left(i+1\right)^8}{\left(i-1\right)^4}z^3+\frac{5-\sqrt 3 i}{2+\sqrt 3 i}z^2+4\frac{1}{i^{82}}=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5+\frac{\left(-1+2i+1\right)^4}{\left(-1-2i+1\right)^2}z^3+\frac{5-\sqrt 3 i}{2+\sqrt 3 i}\cdot\frac{2-\sqrt 3 i}{2-\sqrt 3 i}z^2+4\frac{1}{\left(i^4\right)^{20}\cdot i^2}=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5+\frac{2^4i^4}{\left(-2\right)^2i^2}z^3+\frac{7-7\sqrt 3 i}{4+3}z^2+4\frac{1}{1^{20}\cdot\left(-1\right)}=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^5-4z^3+\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2-4=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)\left(z^5+z^2\right)-4\left(z^3+1\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2\left(z^3+1\right)-4\left(z^3+1\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(z^3+1\right)\left[\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2-4\right]=0[/dispmath][dispmath]\left(z+1\right)\left(z^2-z+1\right)\left[\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2-4\right]=0[/dispmath][dispmath]z+1=0\quad\vee\quad\ z^2-z+1=0\quad\vee\quad\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2-4=0[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]
Dalje znaš...

Rešenja (ima ih pet):
[dispmath]z\in\left\{-1,\;\;\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt 3}{2},\;\;\pm\left(\frac{\sqrt 6}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}\right)\right\}[/dispmath]

Hvala.

Rješenja bih trebao napisati u onom obliku [inlmath]Z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)[/inlmath]. Kako bih to izveo, malo mi se čini nezgodno...

Evo uputstva.

viewtopic.php?f=28&t=106

Znam za to, ali zanima me kako doći do toga iz ovih izraza:
[dispmath]\left(z^3+1\right)\left[\left(1-\sqrt{3}i\right)z^2-4\right][/dispmath]
Za prvi će očito biti da je [inlmath]z^3=-1[/inlmath] pa se iz toga odrede modul i kut, ali kako za ovaj drugi dio? Smije li se pojaviti razlomak?

Naravno da sme, zašto ne bi smeo:
[dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2-4=0[/dispmath][dispmath]\left(1-\sqrt 3 i\right)z^2=4[/dispmath][dispmath]z^2=\frac{4}{1-\sqrt 3 i}[/dispmath]
pa sad to, naravno, racionalizujemo
[dispmath]z^2=\frac{4}{1-\sqrt 3 i}\cdot\frac{1+\sqrt 3 i}{1+\sqrt 3 i}[/dispmath][dispmath]z^2=\frac{4\left(1+\sqrt 3 i\right)}{4}[/dispmath][dispmath]z^2=1+\sqrt 3 i[/dispmath][dispmath]z=\sqrt{1+\sqrt 3 i}[/dispmath]
Sada [inlmath]\left(1+\sqrt 3 i\right)[/inlmath] zapišemo u trigonometrijskom obliku, kako bismo mogli da ga korenujemo:
[dispmath]z=\sqrt{2e^{i\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)}}[/dispmath][dispmath]z=\sqrt 2\cdot e^{i\left(\frac{\pi}{6}+k\pi\right)}[/dispmath]

Hvala

Evo sljedećeg:
[dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^6-7\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3-8=0[/dispmath][dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=t[/dispmath][dispmath]t^2-7t-8=0[/dispmath][dispmath]t_1=8[/dispmath][dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=8\quad /\sqrt[3]{}[/dispmath][dispmath]z_1=3[/dispmath]
Kako ovo zapisati u onom obliku [inlmath]z=r(\cos x+i\sin x)[/inlmath] ?
[dispmath]t_2=-1[/dispmath][dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=-1\quad /\sqrt[3]{}[/dispmath][dispmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[3]{-1}\quad /\cdot(z-1)[/dispmath][dispmath]z+1=\sqrt[3]{-1}z-\sqrt[3]{-1}[/dispmath][dispmath]-\sqrt[3]{-1}z+\sqrt[3]{-1}+z+1=0[/dispmath][dispmath]-\sqrt[3]{-1}(z-1)+(z+1)=0[/dispmath]
Kako dalje, ako je ovo dobro što sam napravio?

Pa, nije dobro.

eseper je napisao:[dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=8\quad /\sqrt[3]{}[/dispmath][dispmath]z_1=3[/dispmath]

Zaboravljaš da korenovanje u kompleksnom domenu kao rezultat daje više od jednog rešenja i to, kada se traži [inlmath]n[/inlmath]-ti koren nekog kompleksnog broja, imaćemo [inlmath]n[/inlmath] rešenja. U ovom slučaju, pošto tražimo treći koren, imaćemo tri rešenja.
Da bi našao koren nekog kompleksnog broja, moraš ga prvo prevesti u trigonometrijski oblik, tj. predstaviti ga u obliku modula i argumenta.
A da bi to učinio, moraš ga, prethodno, napisati u obliku [inlmath]a+ib[/inlmath].
Znači, [inlmath]\frac{z+1}{z-1}[/inlmath] prvo treba da racionalizuješ.

Isti slučaj i ovde:

eseper je napisao:[dispmath]\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3=-1\quad /\sqrt[3]{}[/dispmath][dispmath]\frac{z+1}{z-1}=\sqrt[3]{-1}\quad /\cdot(z-1)[/dispmath]

Kad racionaliziram sa [inlmath]z+1[/inlmath] ispadne mi opet ista vrijednost kao prije racionalizacije. Da možda ne treba odvojeno brojnik i nazivnik?