Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Moduo kompleksnog broja

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Moduo kompleksnog broja

Postod Stefanowsky » Utorak, 24. Februar 2015, 19:35

Ako su [inlmath]a,b,z\in\mathbb{C}[/inlmath] i [inlmath]|z|=1[/inlmath] dokazati:
[dispmath]\left|\frac{a\cdot z+b}{\overline{b}\cdot z+\overline{a}}\right|=1[/dispmath]
Hvala unapred :)
"Let us learn to dream, gentlemen, then perhaps we shall find the truth... But let us beware of publishing our dreams till they have been tested by waking understanding."
Korisnikov avatar
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 25 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Moduo kompleksnog broja

Postod Daniel » Sreda, 25. Februar 2015, 07:39

Pozdrav, super je što koristiš Latex, ali bih te zamolio da obratiš pažnju i na ostale tačke Pravilnika foruma. Mislim, konkretno, na tačku 6.

Ovaj zadatak ti je najlakše da radiš tako što svaki od ovih kompleksnih brojeva napišeš u eksponencijalnom obliku, npr. [inlmath]a=\left|a\right|e^{i\alpha}[/inlmath]. Slično i za [inlmath]z[/inlmath] i za [inlmath]b[/inlmath].

Biće potrebno i da tokom postupka iskoristiš sledeće osobine kompleksnih brojeva:
[dispmath]\left|z_1\cdot z_2\right|=\left|z_1\right|\cdot\left|z_2\right|[/dispmath][dispmath]\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}[/dispmath][dispmath]\overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{z_1+z_2}[/dispmath][dispmath]\left|\overline z\right|=\left|z\right|[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Moduo kompleksnog broja

Postod Stefanowsky » Sreda, 25. Februar 2015, 11:30

Moram da te zamolim za malu dopunu. Nisam jos uvek ucio eksponencijalni (trigonometrijski) oblik komplesnih brojeva, ali je ocigledno vreme da naucim :D Evo dokle sam stigao:
[dispmath]=\left|\frac{|a|\cdot e^{i\cdot(\alpha+\gamma)}+|b|\cdot e^{i\cdot\beta}}{|b|\cdot e^{i\cdot(\gamma-\beta)}+|a|\cdot e^{-i\cdot\alpha}}\right|[/dispmath]
Samo sam zamenio sve :?
"Let us learn to dream, gentlemen, then perhaps we shall find the truth... But let us beware of publishing our dreams till they have been tested by waking understanding."
Korisnikov avatar
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 25 puta

Re: Moduo kompleksnog broja

Postod Stefanowsky » Sreda, 25. Februar 2015, 12:29

Jel moze ovako da se nastavi:
[dispmath]\left|e^{i\cdot\gamma}\frac{\left|a\right|\cdot e^{i\cdot\alpha}+\left|b\right|\cdot e^{i\cdot(\beta-\gamma)}}{\left|a\right|\cdot e^{-i\cdot\alpha}+\left|b\right|\cdot e^{-i\cdot(\beta-\gamma)}}\right|=\left|e^{i\cdot\gamma}\right|\frac{\left|\left|a\right|\cdot e^{i\cdot\alpha}+\left|b\right|\cdot e^{i\cdot(\beta-\gamma)}\right|}{\left|\left|a\right|\cdot e^{-i\cdot\alpha}+\left|b\right|\cdot e^{-i\cdot(\beta-\gamma)}\right|}=[/dispmath]
Posto su imenilac i brojilac oblika [inlmath]\left|z\right|=\left|\overline{z}\right|[/inlmath], njihovi moduli su jednaki i onda je:
[dispmath]=\left|e^{i\cdot\gamma}\right|[/dispmath]
Ako je tacno ovo sto napisah, zasto je ovo na kraju [inlmath]=1[/inlmath] ? :)
"Let us learn to dream, gentlemen, then perhaps we shall find the truth... But let us beware of publishing our dreams till they have been tested by waking understanding."
Korisnikov avatar
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 25 puta

Re: Moduo kompleksnog broja

Postod Stefanowsky » Sreda, 25. Februar 2015, 15:28

Jel bi ovako islo:
[inlmath]z=\left|z\right|\cdot e^{i\gamma}[/inlmath] i onda je [inlmath]\left|e^{i\gamma}\right|=\left|\frac{z}{\left|z\right|}\right|=\left|\frac{z}{1}\right|=\left|z\right|=1[/inlmath]
P.S. Pisao sam u vise post-ova jer ne znam kako da izmenim. Bio bih zahvalan ukoliko mi neko otkrije kako se to radi :D
"Let us learn to dream, gentlemen, then perhaps we shall find the truth... But let us beware of publishing our dreams till they have been tested by waking understanding."
Korisnikov avatar
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 25 puta

Re: Moduo kompleksnog broja

Postod Daniel » Sreda, 25. Februar 2015, 15:59

Upravo tako. :)
Dakle, svi kompleksni brojevi oblika [inlmath]e^{i\varphi}[/inlmath] imaju vrednost modula [inlmath]1[/inlmath], nezavisno od vrednosti ugla [inlmath]\varphi.[/inlmath].
Možeš to i ovako posmatrati:
[dispmath]e^{i\gamma}=1\cdot e^{i\gamma}[/dispmath]
i, ako to uporediš s eksponencijalnim oblikom u opštem slučaju, [inlmath]\left|z\right|e^{i\varphi}[/inlmath], tačno vidiš da je [inlmath]\left|z\right|=1[/inlmath].

P.S. Postove je moguće menjati, ali samo u prvih pet minuta nakon objavljivanja posta.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Moduo kompleksnog broja

Postod željko » Utorak, 29. Septembar 2015, 15:00

Molim vas, da li je ovo tačno:

Odredi apsolutnu vrednost od [inlmath]z[/inlmath] ako je [inlmath]z=(3-i)^3(5-i)^4[/inlmath]
[dispmath]|z|=\sqrt{a^2+b^2}\\
|z|=|3-i|^3|5-i|^4=\left(\sqrt{3^2+1^2}\right)^3\left(\sqrt{5^2+1^2}\right)^4=\left(\sqrt{10}\right)^3\left(\sqrt{26}\right)^4=10\sqrt{10}\cdot676=6760\sqrt{10}[/dispmath]
željko  OFFLINE
 
Postovi: 51
Zahvalio se: 61 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Moduo kompleksnog broja

Postod Daniel » Utorak, 29. Septembar 2015, 15:54

:correct:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 51 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 09:29 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs