MATEMANIJA

ETF Prijemni 2016.
3. zadatak

Evo još jednog od lakših zadataka sa današnjeg prijemnog:

Dat je kompleksan broj [inlmath]z=\frac{\sqrt{2016}+\imath^{2019}}{\sqrt{2016}+\imath^{2017}}[/inlmath], [inlmath]\left(\imath^2=-1\right)[/inlmath] Tada je izraz [inlmath]\frac{z+\overline z}{2}[/inlmath] (gde je [inlmath]\overline z[/inlmath] konjugovano kompleksni broj broja [inlmath]z[/inlmath]) jednak:

Rešenje: [inlmath]\frac{2015}{2017}[/inlmath]

Ja sam zadatak rešio ovako:
[dispmath]z=\frac{\sqrt{2016}+\imath^{2019}}{\sqrt{2016}+\imath^{2017}}=\frac{\sqrt{2016}+\imath^{4\cdot504+3}}{\sqrt{2016}+\imath^{4\cdot504+1}}=\frac{\sqrt{2016}-\imath}{\sqrt{2016}+\imath}[/dispmath]
Zatim racionališemo dobijeni izraz:
[dispmath]\frac{\sqrt{2016}-\imath}{\sqrt{2016}+\imath}\cdot\frac{\sqrt{2016}-\imath}{\sqrt{2016}-\imath}=\frac{\left(\sqrt{2016}-\imath\right)^2}{\sqrt{2016}^2-\imath^2}=\frac{2015-2\sqrt{2016}}{2017}=\frac{2015}{2017}-\frac{2\sqrt{2016}}{2017}[/dispmath]
Odatle sledi da je
[dispmath]\overline z=\frac{2015}{2017}+\frac{2\sqrt{2016}}{2017}[/dispmath]
Zatim je
[dispmath]\frac{z+\overline z}{2}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2015}{2017}-\frac{2\sqrt{2016}}{2017}+\frac{2015}{2017}+\frac{2\sqrt{2016}}{2017}\right)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{2015}{2017}=\frac{2015}{2017}[/dispmath]

Tvoje resenje se moze malo skratiti (premda to i nije neko sustinsko skracivanje), ako primetis da je [inlmath]\displaystyle\text{Re }z=\frac{z+\bar{z}}{2}[/inlmath]. Tada iz dobijenog [inlmath]\displaystyle\frac{2015}{2017}-{\color{red}i}\frac{2\sqrt{2016}}{2017}[/inlmath] odmah nalazimo i konacno resenje. (obelezio sam crvenim deo koji si ispustio, verovatno pri kucanju)