MATEMANIJA

U skupu [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath] riješiti jednačinu [dispmath](2+i)z^2+(3+i)z+2+2i=0.[/dispmath]

Umesto [inlmath]z[/inlmath] stavimo [inlmath]a+ib[/inlmath].
[dispmath](2+i)(a+ib)^2+(3+i)(a+ib)+2+2i=0[/dispmath][dispmath](2+i)\left(a^2+2aib-b^2\right)+(3a+3ib+ai-b)+2+2i=0[/dispmath][dispmath]2a^2+4aib-2b^2+a^2 i-2ab-b^2 i+3a+3ib+ai-b+2+2i=0[/dispmath]
Izjednačimo sa nulom imaginarni i realni deo:
[dispmath]2a^2-2b^2-2ab+3a-b+2=0\\
4ab+a^2-b^2+3b+a+2=0[/dispmath]
Rešavanjem ovog sistema dobijaju se sledeća rešenja: [inlmath]a=-1,\;b=1[/inlmath]. I [inlmath]a=-\frac{2}{5},\;b=-\frac{4}{5}[/inlmath]
Rešenja su dakle:
[dispmath]z_1=-1+i[/dispmath][dispmath]z_2=-\frac{2}{5}-\frac{4}{5}i[/dispmath]

[dispmath]2a^2-2b^2-2ab+3a-b+2=0\\
4ab+a^2-b^2+3b+a+2=0[/dispmath]

Da li se ovaj sistem moze rijesiti preko gaussa ili kako?

Ja bih rekao da Gaus služi za sisteme linearnih jednačina.

Pomnoži sa [inlmath]2[/inlmath] drugu jednačinu i oduzmi od nje prvu, i onda izrazi [inlmath]a[/inlmath] preko [inlmath]b[/inlmath] (ili obrnuto). Vrati u neku od jednačina, itd...

Ja bih rekao da Gaus služi za sisteme linearnih jednačina.

Da da.

Pomnoži sa [inlmath]2[/inlmath] drugu jednačinu i oduzmi od nje prvu, i onda izrazi [inlmath]a[/inlmath] preko [inlmath]b[/inlmath] (ili obrnuto). Vrati u neku od jednačina, itd...

hvala punoo

[dispmath]2a^2-2b^2-2ab+3a-b+2=0\\
4ab+a^2-b^2+3b+a+2=0[/dispmath]
Rešavanjem ovog sistema dobijaju se sledeća rešenja: [inlmath]a=-1,\;b=1[/inlmath]. I [inlmath]a=-\frac{2}{5},\;b=-\frac{4}{5}[/inlmath]

Ja ne dobijem to ://
[dispmath]2a^2-2b^2-2ab+3a-b+2=0\\
a^2-b^2+4ab+a+3b+2=0[/dispmath]
Pomnozim drugu jednacinu s [inlmath](-2)[/inlmath]
dobijem:
[dispmath]-2ab+3a-b+2=0\\
-8ab-2a-6b-4=0[/dispmath]
Onda prvu pomnozim s [inlmath](-4)[/inlmath], pa imam:
[dispmath]-12a+4b-8=0\\
-2a-6b-4=0[/dispmath]
Onda drugu mnozim s [inlmath](-6)[/inlmath]:
[dispmath]4b-8=0\\
36b+24=0[/dispmath]
Saberem ih i dobijem da je [dispmath]b=\frac{-2}{5}.[/dispmath]
?? (

Da li je ovo ok ://

Hajde da vidimo... Kad bi imala, recimo, jednačinu [inlmath]a^2+b^2-5ab+4a-3b-1=0[/inlmath] i kad bi trebalo da je pomnožiš sa, recimo, [inlmath]3[/inlmath], kako bi to uradila?


P.S. Pozdravi Almu.

Daniel je napisao:Hajde da vidimo... Kad bi imala, recimo, jednačinu [inlmath]a^2+b^2-5ab+4a-3b-1=0[/inlmath] i kad bi trebalo da je pomnožiš sa, recimo, [inlmath]3[/inlmath], kako bi to uradila?

pa ovako [dispmath]3a^2+3b^2-15ab+12a-9b-3=0[/dispmath]

P.S. Pozdravi Almu.

Zasto almu??

indira-aa je napisao:pa ovako [dispmath]3a^2+3b^2-15ab+12a-9b-3=0[/dispmath]

Dobro. A kako bi, onda, pomnožila jednačinu koju si ovde imala, [inlmath]a^2-b^2+4ab+a+3b+2=0[/inlmath], sa [inlmath]\left(-2\right)[/inlmath]?

A kako bi, onda, pomnožila jednačinu koju si ovde imala, [inlmath]a^2-b^2+4ab+a+3b+2=0[/inlmath], sa [inlmath]\left(-2\right)[/inlmath]?

[dispmath]-2a^2+2b^2-8ab-2a-6b-4=0[/dispmath]

Jeste. E sad to uporedi s onime što si dobila u svom prethodnom postupku,
[dispmath]-8ab-2a-6b-4=0[/dispmath]

Daniel je napisao:Jeste. E sad to uporedi s onime što si dobila u svom prethodnom postupku,
[dispmath]-8ab-2a-6b-4=0[/dispmath]

Da da ja sam pisala samo kad se skrti sta dobijem nisam svaki korak pisala, a u svesci jesam.. razumijes me?

indira-aa je napisao:Ja ne dobijem to ://
[dispmath]2a^2-2b^2-2ab+3a-b+2=0\\
a^2-b^2+4ab+a+3b+2=0[/dispmath]
Pomnozim drugu jednacinu s [inlmath](-2)[/inlmath]
dobijem:

[dispmath]2a^2-2b^2-2ab+3a-b+2=0\\
-2a^2+2b^2-8ab-2a-6b-4=0[/dispmath]
tj.kad se skrate:
[dispmath]-2ab+3a-b+2=0\\
-8ab-2a-6b-4=0[/dispmath]
Onda prvu pomnozim s [inlmath](-4)[/inlmath], pa imam:
[dispmath]8ab-12a+4b-8=0\\
-8ab-2a-6b-4=0[/dispmath]
tj.
[dispmath]-12a+4b-8=0\\
-2a-6b-4=0[/dispmath]
Onda drugu mnozim s [inlmath](-6)[/inlmath]:
[dispmath]-12a+4b-8=0\\
12a+36b+24=0[/dispmath]
tj.
[dispmath]4b-8=0\\
36b+24=0[/dispmath]
Saberem ih i dobijem da je [dispmath]b=\frac{-2}{5}.[/dispmath]

indira-aa je napisao:[dispmath]2a^2-2b^2-2ab+3a-b+2=0\\
-2a^2+2b^2-8ab-2a-6b-4=0[/dispmath]
tj.kad se skrate:
[dispmath]-2ab+3a-b+2=0\\
-8ab-2a-6b-4=0[/dispmath]

Na koji način si došla do ovoga

Kad sabereš te jednačine dobijaš:
[inlmath]-2ab+3a-b+2-8ab-2a-6b-4=0[/inlmath], itd, a ne ono što ti pišeš...

Izraziš jednu promenljivu kao funkciju druge i vratiš u neku od polaznih jednačina, čime dobijaš jednačinu sa jednom nepoznatom, itd, itd...

EDIT: duplirala si postove, a mi smo greškom izbrisali oba, sorry

Milovan je napisao:EDIT: duplirala si postove, a mi smo greškom izbrisali oba, sorry

Da, i to baš Milovan jedan a ja drugi... I to istovremeno... Sorry...

EDIT: duplirala si postove, a mi smo greškom izbrisali oba, sorry

Ma nema veze ne zamjerim ja,, nego ja sam ovako izrazila, ali mislim da nije ok:/
[dispmath]-10ab+a-7b-2=0[/dispmath][dispmath]b(-10a-7)+a-2=0[/dispmath][dispmath]b(-10a-7)=2-a[/dispmath][dispmath]b=\frac{2-a}{-10a-7}[/dispmath]??

Jeste, to je OK, doduše, zgodnije je i brojilac i imenilac pomnožiti sa [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath], pa je onda [inlmath]\frac{a-2}{10a+7}[/inlmath]. Zatim to uvrstiš umesto [inlmath]b[/inlmath] u neku od one dve jednačine, recimo u drugu, i dobiješ lepu jednačinu četvrtog stepena: [inlmath]50a^4+140a^3+183a^2+119a+26=0[/inlmath]

Zato, nadam se da mi Milovan neće zameriti, ali ja bih predložio jedan drugi način rešavanja, a to je da se reši kvadratna jednačina
[dispmath]\left(2+i\right)z^2+\left(3+i\right)z+2+2i=0[/dispmath]
u kompleksnom domenu:
[dispmath]z_{1,2}=\frac{-3-i\pm\sqrt{\left(3+i\right)^2-4\left(2+i\right)\left(2+2i\right)}}{2\left(2+i\right)}[/dispmath]
gde će u jednom međukoraku biti potrebno izračunati [inlmath]\sqrt{-i}[/inlmath], a to računaš tako što [inlmath]-i[/inlmath] napišeš u trigonometrijskom obliku, pa nađeš koren iz toga...

[dispmath]z_{1,2}=\frac{-3-i\pm\sqrt{\left(3+i\right)^2-4\left(2+i\right)\left(2+2i\right)}}{2\left(2+i\right)}[/dispmath]
gde će u jednom međukoraku biti potrebno izračunati [inlmath]\sqrt{-i}[/inlmath], a to računaš tako što [inlmath]-i[/inlmath] napišeš u trigonometrijskom obliku, pa nađeš koren iz toga...

Ja dobijem ovako:
[dispmath]z_{1,2}=\frac{-3-i\pm\sqrt{9+6i-1-16-16i-8i+8}}{4+2i}[/dispmath][dispmath]z_{1,2}=\frac{3-i\pm\sqrt{-18i}}{4+2i}[/dispmath]
Da li je ok,, nisam dobila kao ti ://

Na dobrom si putu, samo si u poslednjoj formuli zaboravila minus ispred trojke u brojiocu.

da da to je u kucanju samo, u svesci ima, kao i u prethodnom koraku hehe.. aa nego jesi na to mislio sad da to stavim u trigonometrijski oblik?? Aa kako to sad?? ima neka formula nest

Izvučeš ovo [inlmath]18[/inlmath] ispred korena i pod korenom ti ostane [inlmath]-i[/inlmath], koje onda prebaciš u trigonometrijski oblik. Ima nekoliko tema u rubrici „Kompleksna analiza“ u kojima je objašnjen postupak prevođenja kompleksnog broja u trigonometrijski oblik.

Eeeeh ovako ja sam to probala preko trigonometrijskog oblika, i dobila sam da je
[dispmath]r=18[/dispmath][dispmath]\phi=\frac{3\pi}{2}[/dispmath]
Da li je to ispravno, nikad ne znam kako na kruznici odrediti te uglove koji su ://, moze li pojasnjenje?
[dispmath]\omega_0=\sqrt{18}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/dispmath] i sad ne znam dalje?

i [dispmath]\omega_1=\sqrt{18}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/dispmath] i sad ne znam dalje?

Da, sve što si napisala je ispravno.

Sada to uvrstiš u izraz
[dispmath]z_{1,2}=\frac{-3-i\pm\sqrt{-18i}}{4+2i}[/dispmath]
umesto [inlmath]\sqrt{-18i}[/inlmath].

Ne moraš posebno uvrštavati [inlmath]\omega_1[/inlmath] i [inlmath]\omega_2[/inlmath], budući da je [inlmath]\omega_1=-\omega_2[/inlmath], a ispred [inlmath]\sqrt{-18i}[/inlmath] ionako imamo znak [inlmath]\pm[/inlmath]. Dovoljno je da umesto [inlmath]\sqrt{-18i}[/inlmath] uvrstiš nešto od ta dva, bilo [inlmath]\omega_1[/inlmath], bilo [inlmath]\omega_2[/inlmath].

Da da ali mogu li ja to skratiti nekako, da dobijem neke manje brojeve? npr za [inlmath]\omega_0[/inlmath]?

Da, možeš da skratiš. Ali, valjda to umeš i sama da uradiš. Pogledaj na koje faktore možeš da rastaviš [inlmath]18[/inlmath], šta od tih faktora može da izađe izvan korena, a s čime može da se pokrati taj koren koji preostane...

Za [dispmath]\omega_0=\sqrt{18}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/dispmath] ja dobijem da je [dispmath]\omega_0=-3+3i[/dispmath]
i za [dispmath]\omega_1=\sqrt{18}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/dispmath] dobijem da je [dispmath]\omega_1=3-3i[/dispmath]
Pa je to onda [dispmath]\pm 3-3i[/dispmath]
Da li je to ok?

Sve OK, osim poslednjeg zaključka da je to jednako [inlmath]\pm 3-3i[/inlmath]. Pogledaj malo bolje.

Daniel je napisao:Sve OK, osim poslednjeg zaključka da je to jednako [inlmath]\pm 3-3i[/inlmath]. Pogledaj malo bolje.

Mislis na zagradu, fali naravno hehe

I ja to kad uvrstim u ovo:
[dispmath]z_{1,2}=\frac{-3-i\pm\sqrt{-18i}}{2(2+i)}[/dispmath]
dobijem ovako:
[dispmath]z_1=\frac{-3-i+3-3i}{2(2+i)}[/dispmath]
to je onda:
[dispmath]z_1=\frac{-4i}{4+2i}[/dispmath]
Pomnozim i brojnik i nazivnik s [inlmath]4-2i[/inlmath].. i dobijem ovako:
[dispmath]z_1=\frac{-16i-8}{20}[/dispmath]
kad to ksratim dobijem da je:
[dispmath]z_1=\frac{-4}{5}-\frac{2}{5}i[/dispmath]
i [dispmath]z_2=\frac{-6+2i}{4+2i}[/dispmath]
Kad brojnik i nazivnik pomnozim s [inlmath]4-2i[/inlmath] dobijem ovako:
[dispmath]z_2=\frac{-20+20i}{20}[/dispmath]
Kad to sve skratim dobijem da je:
[dispmath]z_2=-1+i[/dispmath]
??

Pogrešila si kod množenja [inlmath]-2i[/inlmath] s [inlmath]\left(2-i\right)[/inlmath]. Kad to ispravno pomnožiš, treba da dobiješ [inlmath]-2-4i[/inlmath] u brojiocu i tada će se tvoje rešenje poklopiti s Milovanovim.

I onda uradi i za drugi slučaj, ovde si [inlmath]\sqrt{-18i}[/inlmath] napisala kao [inlmath]3-3i[/inlmath]. Sad uradi i za [inlmath]-\left(3-3i\right)[/inlmath]...

Jao, ubiću vas zbog tog naknadnog editovanja poruka...

Daniel je napisao:Jao, ubiću vas zbog tog naknadnog editovanja poruka...

Haha a de nemoj, hahaha.. nek je bar tacno onda ne zali hahaha..

E da, da je bar tačno, pa da i ne žalim...

Kod [inlmath]z_1[/inlmath] si se prešla kod skraćivanja, vidiš da opet nisi dobila rešenje kao Milovanovo.

[inlmath]z_2[/inlmath] je OK.

Inače, prvo skraćuj, pa onda racionalizuj. Tako ti je jednostavnije.