Vrednost kompleksnog izraza – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Ponedeljak, 01. Jul 2013, 17:06
od Boskovic 94
Prijemni ispit MATF – 29. jun 2011.
19. zadatak


Vrednost izraza [inlmath]\displaystyle\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{2011}+\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^{2011}[/inlmath] je?

Re: Vrednost kompleksnog izraza – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Ponedeljak, 01. Jul 2013, 19:24
od Daniel
[dispmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{2011}+\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^{2011}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^2=\frac{-2+i2\sqrt3}{4}=\frac{-1+i\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^3=\frac{1+i\sqrt3}{2}\cdot\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^2=\frac{1+i\sqrt3}{2}\cdot\frac{-1+i\sqrt3}{2}=\frac{-4}{4}=-1[/dispmath] Na sličan način se pokaže i da je
[dispmath]\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^3=-1[/dispmath][dispmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{2011}=\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{2010}\cdot\frac{1+i\sqrt3}{2}=\cancelto{1}{\left[\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^3\right]^{670}}\cdot\frac{1+i\sqrt3}{2}=\frac{1+i\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^{2011}=\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^{2010}\cdot\frac{1-i\sqrt3}{2}=\cancelto{1}{\left[\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^3\right]^{670}}\cdot\frac{1-i\sqrt3}{2}=\frac{1-i\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{2011}+\left(\frac{1-i\sqrt3}{2}\right)^{2011}=\frac{1+i\sqrt3}{2}+\frac{1-i\sqrt3}{2}=1[/dispmath]

Izraz sa stepenovanjem kompleksnog broja – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 08. Jun 2016, 20:43
od lowzyyy
* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

Zadatak ide ovako:
[dispmath]\left(\frac{1+\imath\sqrt3}{2}\right)^{2011}+\left(\frac{1-\imath\sqrt3}{2}\right)^{2011}=[/dispmath] Ja sam to preko trigonometrije radio, znaci nadjem modul. Kod oba je [inlmath]r=2[/inlmath].
Pa onda nadjem ugao:
[dispmath]\text{arctg }\sqrt3=\frac{\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\text{arctg }-\sqrt3=-\frac{\pi}{3}[/dispmath] Ubacim u moavrovu formulu:
[dispmath]z^{2011}=2^{2011}\left(\cos\frac{2011\pi}{3}+\sin\frac{2011\pi}{3}\right)=2^{2011}(\cos\pi)=-2^{2011}[/dispmath][dispmath]z^{2011}=2^{2011}\left(\cos\frac{-2011\pi}{3}+\sin\frac{2011\pi}{3}\right)=2^{2011}(\cos-\pi)=-2^{2011}[/dispmath] Dalje:
[dispmath]\frac{-2^{2011}}{2^{2011}}+\frac{-2^{2011}}{2^{2011}}=-2[/dispmath] Resenje je [inlmath]1[/inlmath]. Prijemni matf 2011. Gde gresim?

Re: Izraz sa stepenovanjem kompleksnog broja – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 08. Jun 2016, 21:07
od Ilija
Moduo kod oba broja je [inlmath]1[/inlmath].

Re: Izraz sa stepenovanjem kompleksnog broja – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 08. Jun 2016, 21:54
od lowzyyy
Aha, ti si gledao kompleksni broj kao celu zagradu. Ja sam gledao iznad razlomacke crte. Kako god dobijes opet na kraju [inlmath]-1-1=-2[/inlmath]

Re: Izraz sa stepenovanjem kompleksnog broja – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 08. Jun 2016, 22:03
od Herien Wolf
[dispmath]z_1=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\quad\land\quad z_2=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\\
\left|z_1\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=1\\
\left|z_2\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=1[/dispmath] To je što se modula tiče.
Sad imam dve primedbe, više tehničke prirode.
1. Ukoliko imaš razlomak unutar zagrade savetujem ti da koristiš \left( \right)
Primer bez navedenih tagova: [inlmath](\frac{1+i\sqrt3}{2})[/inlmath] kod - (\frac{1+i\sqrt3}{2})
Primer sa upotrebljenim tagovima: [inlmath]\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)[/inlmath] kod - \left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)
2. Smatram da je ova tema adekvatnija u rubrici KOMPLEKSNA ANALIZA, tako da bi mod tim mogao da premesti ovu temu u skladu sa Članom 8. Pravilnika. Mada ovo je samo sugestija.

Re: Izraz sa stepenovanjem kompleksnog broja – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 08. Jun 2016, 22:13
od lowzyyy
Pa deder mi pojasni gde gresim posto si i ti dobio [inlmath]1[/inlmath]

Re: Izraz sa stepenovanjem kompleksnog broja – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 08. Jun 2016, 22:23
od Daniel
lowzyyy je napisao:Prijemni matf 2011.

Hvala za navođenje izvora zadatka. Jedan savet i za tebe i za ostale korisnike. Kad vam treba pomoć oko nekog zadatka s ranijih prijemnih, otidite na novootvoreni deo sajta s prijemnim ispitima, potražite taj rok, zatim taj zadatak, i proverite da li je možda već bio rešen ovde na forumu.
Konkretno, evo tog zadatka. Ispod njega se nalazi link, što znači da je na ovom forumu već rešen i da nema potrebe da se duplira. ;)

Re: Izraz sa stepenovanjem kompleksnog broja – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 08. Jun 2016, 22:42
od lowzyyy
Kul, sad vec pocinjem da spamujem, ali gde gresim :D

Re: Vrednost kompleksnog izraza – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 08. Jun 2016, 22:45
od Herien Wolf
Moj postupak:
[dispmath]z_1=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\quad\land\quad z_2=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2}\\
\left|z_1\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=1\\
\left|z_2\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=1\\
z_1^{2011}=\left(\cos\frac{2011\pi}{3}+i\sin\frac{2011\pi}{3}\right)\\
z_1^{2011}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\\
z_2^{2011}=\left(\cos\frac{-2011\pi}{3}+i\sin\frac{-2011\pi}{3}\right)\\
z_2^{2011}=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\\
\Longrightarrow\quad z_1^{2011}+z_2^{2011}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}=2\cos\frac{\pi}{3}=1[/dispmath] Što se tvog postupka tiče meni nije jasno kako si ti dobio:
[dispmath]\cos\frac{2011\pi}{3}+i\sin\frac{2011\pi}{3}=\cos{\pi}[/dispmath] Takođe
lowzyyy je napisao:[dispmath]z^{2011}=2^{2011}\left(\cos\frac{-2011\pi}{3}+i\sin\frac{2011\pi}{3}\right)=2^{2011}(\cos-\pi)=-2^{2011}[/dispmath]

Ovde si pogrešio na par mesta
[dispmath]\alpha=-\frac{\pi}{3}\quad\Longrightarrow\quad\cos\frac{-2011\pi}{3}+i\sin\frac{-2011\pi}{3}[/dispmath] [inlmath]\cos-\pi[/inlmath] nije ispravno zapisati, možeš zapisati kao [inlmath]\cos\left(-\pi\right)=\cos\pi[/inlmath]

Re: Vrednost kompleksnog izraza – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 08. Jun 2016, 23:25
od lowzyyy
Boze koja sam dileja haha, sve vreme racunam pogresno koliko je [inlmath]\frac{2011\pi}{3}[/inlmath]. Racunao sam ga kao da je samo [inlmath]2011\pi[/inlmath], pa s toga mi je i ostalo to [inlmath]\pi[/inlmath]

Re: Izraz sa stepenovanjem kompleksnog broja – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Sreda, 08. Jun 2016, 23:28
od Daniel
Herien Wolf je napisao:Sad imam dve primedbe, više tehničke prirode.
1. Ukoliko imaš razlomak unutar zagrade savetujem ti da koristiš \left( \right)

Upravo tako, uneo sam korekcije u post.

Herien Wolf je napisao:2. Smatram da je ova tema adekvatnija u rubrici KOMPLEKSNA ANALIZA, tako da bi mod tim mogao da premesti ovu temu u skladu sa Članom 8. Pravilnika. Mada ovo je samo sugestija.

Apsolutno, spojio sam je s ranijom temom u kojoj se već nalazio isti taj zadatak (i time ovu temu, automatski, prebacio u pomenutu rubriku).

Herien Wolf je napisao:[inlmath]\cos-\pi[/inlmath] nije ispravno zapisati, možeš zapisati kao [inlmath]\cos\left(-\pi\right)=\cos\pi[/inlmath]

Tako je. Isto se odnosi i na
lowzyyy je napisao:[dispmath]\text{arctg }-\sqrt3[/dispmath]

koje treba da bude zapisano kao [inlmath]\text{arctg}\left(-\sqrt3\right)[/inlmath].

Re: Vrednost kompleksnog izraza – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Četvrtak, 25. Jun 2020, 21:52
od Griezzmiha
Imam jedno pitanje oko ovog zadatka... Naime bilo koji zadatak ove vrste, prostiji ili tezi, moze se resavati pomocu Moavrove formule a posto je ovaj primer zaista dug za ispisivanje i rad, da li biste pre preporucili Moavrovu formulu ili klasican postupak?

Vreme je zaista bitno na prijemnom, pa me zanima sta biste vi uradili da ste na mom mestu....

Re: Vrednost kompleksnog izraza – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Četvrtak, 25. Jun 2020, 22:29
od miletrans
Pitanje je poprilično nezahvalno za odgovor. Po meni, sve zavisi od kandidata koji polaže i njegovog ukusa. Obično se prilikom pripreme samog prijemnog jedan način rešavanja vežba više nego drugi. I, normalno, onaj način koji je bolje uvežban postaje "lakši" i "brži". Moja lična preporuka je da se (ukoliko je moguće) provežba i jedan i drugi način i da se prilikom pripreme zadatak ovog tipa uradi i na jedan i na drugi način (i zbog vežbe i zbog kontrole). Ja lično, nikada nikome ne bih rekao "radi na ovaj način" ili "radi preko Moavrove formule". Ali, pojaviće se drugi zadatak koji će biti moguće rešiti samo na jedan od ta dva načina. Ono što je po meni najbitnije je da ne postoji "tačniji" ili "manje tačan" način rešavanja zadataka. Postoje samo tačan i netačan.

Re: Vrednost kompleksnog izraza – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Četvrtak, 25. Jun 2020, 23:19
od Griezzmiha
Mile izvini ako ti dosadjujem, ali mozes li mi dati neki generalan (konkretan po mogucstvu) primer zadatka, koji bi funkcionisao po Moavrovoj a ne po klasicnom postupku i obrnuto... Sa profesorkom koja me je i upoznala sa Moavrovim metodom je rekla, parafraziracu "U sustini nikad neces pogresiti, koristio jedan ili drugi metod resavanja", pa me zanima sta bi to odudaralo od konteksta... Mozda je ona to namerno naglasila, ne zelevsi da me opterecuje zadacima koji nece ni biti na prijemnom, mada sam ja radoznao u svakom slucaju pa me zanima kako bi izgledao taj zadatak/zadaci...

Re: Vrednost kompleksnog izraza – prijemni MATF 2011.

PostPoslato: Petak, 26. Jun 2020, 00:23
od miletrans
Pošto sada već ovo odlazi u off, samo ću da dam kratak komentar. Upravo je to i bila poenta mog prethodnog posta (možda se nisam najbolje izrazio). Obe metode su ispravne i tačne. Mogu samo da se složim sa tvojom profesorkom da nećeš pogrešiti koju god da odabereš.