MATEMANIJA

Izračunajte sve [inlmath]z\in\mathbb{C}[/inlmath] koji zadovoljavaju sljedeću jednadžbu:
[dispmath]z_0^{2013}z^8+\frac{(1+i)^8}{i}z^6+i^{56}z^2-16\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2001}=0[/dispmath]
gdje je [inlmath]z_o[/inlmath] rješenje sustava:
[dispmath]\begin{cases}
|z_0|+\overline z_0^2=2\\ \\
\Re(z_0)>0.
\end{cases}[/dispmath]
samo me sustav zanima, drugo ne treba...

[dispmath]z_0=x_0+iy_0,\quad x_0,y_0\in\mathbb{R}[/dispmath][dispmath]\Re\left(z_0\right)>0\quad\Rightarrow\quad x_0>0[/dispmath][dispmath]\left|z_0\right|+\overline z_0^2=2[/dispmath][dispmath]\left|x_0+iy_0\right|+\overline{x_0+iy_0}^2=2[/dispmath][dispmath]\sqrt{x_0^2+y_0^2}+\left(x_0-iy_0\right)^2=2[/dispmath][dispmath]\sqrt{x_0^2+y_0^2}+x_0^2-i2x_0y_0-y_0^2=2\quad\left(1\right)[/dispmath]
Posmatramo odvojeno realan i imaginaran deo:
[dispmath]\begin{cases}
\sqrt{x_0^2+y_0^2}+x_0^2-y_0^2=2\\ \\
2x_0y_0=0
\end{cases}[/dispmath][dispmath]x_0y_0=0\quad\Rightarrow\quad x_0=0\;\;\lor\;y_0=0[/dispmath][dispmath]x_0>0\quad\Rightarrow\quad x_0\ne 0\quad\Rightarrow\quad\underline{y_0=0}[/dispmath]
Sada uvrstimo [inlmath]y_0=0[/inlmath] u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{x_0^2}+x_0^2=2[/dispmath][dispmath]\left|x_0\right|+x_0^2=2[/dispmath][dispmath]x_0>0\quad\Rightarrow\quad\left|x_0\right|=x_0\quad\Rightarrow\quad x_0+x_0^2=2[/dispmath][dispmath]x_0^2+x_0-2=0[/dispmath][dispmath]\left(x_0\right)_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}[/dispmath][dispmath]\cancel{\left(x_0\right)_1=-2},\quad\underline{\left(x_0\right)_2=1}[/dispmath][dispmath]x_0=1,\quad y_0=0\quad\Rightarrow\quad\underline{z_0=1}[/dispmath]

Hvala Isto toliko sam dobio i ja (iz drugog pokušaja, valjalo se toga malo prisjetiti )

Kada se to sve vrati u zadatak, a potom sredi, ispadne
[dispmath]z^8-z^6 16i+z^2-16i=0[/dispmath]
potom grupiramo
[dispmath]z^8+z^2-16iz^6-16i=0[/dispmath][dispmath]z^2\left(z^6+1\right)-16i\left(z^6+1\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(z^6+1\right)\left(z^2-16i\right)=0[/dispmath]
imamo [inlmath](1)[/inlmath]
[dispmath]z^6=-1[/dispmath] gdje je [inlmath]r=1[/inlmath],
[inlmath]\mathrm{tg}\:\phi=0=\pi[/inlmath]
kada se to pretvori u trigonometrijski oblik, dobije se
[dispmath]z=\cos\frac{\pi+2k\pi}{6}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{6}[/dispmath]
[inlmath]k=0,1,2,3,4,5[/inlmath]
potom se [inlmath]k[/inlmath]-ovi uvrštavaju i dobijaju se rješenja (to neću tipkati jer nije nikakav problem)

i [inlmath](2)[/inlmath]
[dispmath]z^2=16i[/dispmath]
gdje je
[inlmath]r=16\\
\mathrm{tg}\:\phi=\infty=\frac{\pi}{2}[/inlmath]

u konačnici ispadne
[dispmath]z=4\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right)[/dispmath]
odnosno sređeno
[dispmath]z=4\left(\cos\frac{\pi+4k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+4k\pi}{4}\right)[/dispmath]
za [inlmath]k=0,1[/inlmath].

Sve OK, osim ovih nejednakosti

eseper je napisao:[inlmath]\mathrm{tg}\:\phi={\color{red}0=\pi}\\
\cdots\\
\mathrm{tg}\:\phi={\color{red}\infty=\frac{\pi}{2}}[/inlmath]

koje, sasvim očigledno, ne mogu biti tačne.

Lako ćemo za to...

Da sada ne pišem novi zadatak, tj. sustav, sličan je prethodnom samo što je uvjet

[inlmath]\Im(z)>0[/inlmath]
tj. [inlmath]y>0[/inlmath]

Samo me zanima, je li kod rezultata nužno pisati [inlmath]i[/inlmath]
npr. dobijem da je [inlmath]y=4[/inlmath]
odnosno [inlmath]z=4i[/inlmath] valjda da

Nisam siguran da razumem šta pitaš, ali ako si dobio da je imaginarni deo ([inlmath]y[/inlmath]) [inlmath]4[/inlmath], a realni nula, onda je [inlmath]z=4i[/inlmath].
Ako se pitaš da li moraš da pišeš čemu je jednako [inlmath]z[/inlmath] ako si dobio koliko je [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], onda u principu da, jer ti se upravo [inlmath]z[/inlmath] i traži.
Kompleksan broj se inače može zapisati i pomoću uređenog para... U ovom slučaju [inlmath]z=(0,4)[/inlmath]
To je ujedno i zapis u kojem ne figuriše [inlmath]i[/inlmath] (ako to tražiš).

Milovan je napisao:ali ako si dobio da je imaginarni deo ([inlmath]y[/inlmath]) [inlmath]4[/inlmath], a realni nula, onda je [inlmath]z=4i[/inlmath]

Zanimalo me da li u početnu jednadžbu uvrštavam samo [inlmath]4[/inlmath] (ako je imaginaran broj, tj. rezultat [inlmath]y=4[/inlmath], [inlmath]z=4i[/inlmath]) ili [inlmath]4i[/inlmath]
Hvala

Ni meni pitanje nije sasvim jasno, ali možda bi bilo jasnije kada bi tačno napisao koja je to početna jednačina...

Možemo na primjeru slične jednadžbe koja je postavljena u prvom postu ove teme (pritom, broj koji sam sada uzeo iz nekog izmišljenog sustava je - izmišljen, pa se možda zadatak ne bi mogao rješiti, ali to je nebitno za ono što me zanima).
[dispmath]z_0z^8+\frac{(1+i)^8}{i}z^6+i^{56}z^2-16\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2001}=0[/dispmath]
E sada. da se traži neki imaginarni dio (odnosno [inlmath]y[/inlmath]) kao [inlmath]z_0[/inlmath], i ja recimo dobijem iz sustava jednadžbi broj [inlmath]4[/inlmath]. Da li moram napisati:

(1) Ovako
[dispmath]4z^8+\frac{(1+i)^8}{i}z^6+i^{56}z^2-16\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2001}=0[/dispmath]
(2) ili ovako
[dispmath]4iz^8+\frac{(1+i)^8}{i}z^6+i^{56}z^2-16\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2001}=0[/dispmath]
To me zanima, možda sam malo zakomplicirao pa me niste razumjeli, ali mislim da je pravilno (2), kao što je rekao Milovan...