MATEMANIJA

Izračunajte sve [inlmath]z\in\mathbb{C}[/inlmath] koji zadovoljavaju sljedeću jednadžbu:
[dispmath]z_0^{2013}z^8+\frac{(1+i)^8}{i}z^6+i^{56}z^2-16\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2001}=0[/dispmath]
gdje je [inlmath]z_o[/inlmath] rješenje sustava:
[dispmath]\begin{cases}
|z_0|+\overline z_0^2=2\\ \\
\Re(z_0)>0.
\end{cases}[/dispmath]
samo me sustav zanima, drugo ne treba...

[dispmath]z_0=x_0+iy_0,\quad x_0,y_0\in\mathbb{R}[/dispmath][dispmath]\Re\left(z_0\right)>0\quad\Rightarrow\quad x_0>0[/dispmath][dispmath]\left|z_0\right|+\overline z_0^2=2[/dispmath][dispmath]\left|x_0+iy_0\right|+\overline{x_0+iy_0}^2=2[/dispmath][dispmath]\sqrt{x_0^2+y_0^2}+\left(x_0-iy_0\right)^2=2[/dispmath][dispmath]\sqrt{x_0^2+y_0^2}+x_0^2-i2x_0y_0-y_0^2=2\quad\left(1\right)[/dispmath]
Posmatramo odvojeno realan i imaginaran deo:
[dispmath]\begin{cases}
\sqrt{x_0^2+y_0^2}+x_0^2-y_0^2=2\\ \\
2x_0y_0=0
\end{cases}[/dispmath][dispmath]x_0y_0=0\quad\Rightarrow\quad x_0=0\;\;\lor\;y_0=0[/dispmath][dispmath]x_0>0\quad\Rightarrow\quad x_0\ne 0\quad\Rightarrow\quad\underline{y_0=0}[/dispmath]
Sada uvrstimo [inlmath]y_0=0[/inlmath] u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{x_0^2}+x_0^2=2[/dispmath][dispmath]\left|x_0\right|+x_0^2=2[/dispmath][dispmath]x_0>0\quad\Rightarrow\quad\left|x_0\right|=x_0\quad\Rightarrow\quad x_0+x_0^2=2[/dispmath][dispmath]x_0^2+x_0-2=0[/dispmath][dispmath]\left(x_0\right)_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}[/dispmath][dispmath]\cancel{\left(x_0\right)_1=-2},\quad\underline{\left(x_0\right)_2=1}[/dispmath][dispmath]x_0=1,\quad y_0=0\quad\Rightarrow\quad\underline{z_0=1}[/dispmath]

Hvala Isto toliko sam dobio i ja (iz drugog pokušaja, valjalo se toga malo prisjetiti )

Kada se to sve vrati u zadatak, a potom sredi, ispadne
[dispmath]z^8-z^6 16i+z^2-16i=0[/dispmath]
potom grupiramo
[dispmath]z^8+z^2-16iz^6-16i=0[/dispmath][dispmath]z^2\left(z^6+1\right)-16i\left(z^6+1\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(z^6+1\right)\left(z^2-16i\right)=0[/dispmath]
imamo [inlmath](1)[/inlmath]
[dispmath]z^6=-1[/dispmath] gdje je [inlmath]r=1[/inlmath],
[inlmath]\mathrm{tg}\:\phi=0=\pi[/inlmath]
kada se to pretvori u trigonometrijski oblik, dobije se
[dispmath]z=\cos\frac{\pi+2k\pi}{6}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{6}[/dispmath]
[inlmath]k=0,1,2,3,4,5[/inlmath]
potom se [inlmath]k[/inlmath]-ovi uvrštavaju i dobijaju se rješenja (to neću tipkati jer nije nikakav problem)

i [inlmath](2)[/inlmath]
[dispmath]z^2=16i[/dispmath]
gdje je
[inlmath]r=16\\
\mathrm{tg}\:\phi=\infty=\frac{\pi}{2}[/inlmath]

u konačnici ispadne
[dispmath]z=4\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right)[/dispmath]
odnosno sređeno
[dispmath]z=4\left(\cos\frac{\pi+4k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+4k\pi}{4}\right)[/dispmath]
za [inlmath]k=0,1[/inlmath].

Sve OK, osim ovih nejednakosti

eseper je napisao:[inlmath]\mathrm{tg}\:\phi={\color{red}0=\pi}\\
\cdots\\
\mathrm{tg}\:\phi={\color{red}\infty=\frac{\pi}{2}}[/inlmath]

koje, sasvim očigledno, ne mogu biti tačne.

Lako ćemo za to...

Da sada ne pišem novi zadatak, tj. sustav, sličan je prethodnom samo što je uvjet

[inlmath]\Im(z)>0[/inlmath]
tj. [inlmath]y>0[/inlmath]

Samo me zanima, je li kod rezultata nužno pisati [inlmath]i[/inlmath]
npr. dobijem da je [inlmath]y=4[/inlmath]
odnosno [inlmath]z=4i[/inlmath] valjda da

Nisam siguran da razumem šta pitaš, ali ako si dobio da je imaginarni deo ([inlmath]y[/inlmath]) [inlmath]4[/inlmath], a realni nula, onda je [inlmath]z=4i[/inlmath].
Ako se pitaš da li moraš da pišeš čemu je jednako [inlmath]z[/inlmath] ako si dobio koliko je [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], onda u principu da, jer ti se upravo [inlmath]z[/inlmath] i traži.
Kompleksan broj se inače može zapisati i pomoću uređenog para... U ovom slučaju [inlmath]z=(0,4)[/inlmath]
To je ujedno i zapis u kojem ne figuriše [inlmath]i[/inlmath] (ako to tražiš).

Milovan je napisao:ali ako si dobio da je imaginarni deo ([inlmath]y[/inlmath]) [inlmath]4[/inlmath], a realni nula, onda je [inlmath]z=4i[/inlmath]

Zanimalo me da li u početnu jednadžbu uvrštavam samo [inlmath]4[/inlmath] (ako je imaginaran broj, tj. rezultat [inlmath]y=4[/inlmath], [inlmath]z=4i[/inlmath]) ili [inlmath]4i[/inlmath]
Hvala

Ni meni pitanje nije sasvim jasno, ali možda bi bilo jasnije kada bi tačno napisao koja je to početna jednačina...

Možemo na primjeru slične jednadžbe koja je postavljena u prvom postu ove teme (pritom, broj koji sam sada uzeo iz nekog izmišljenog sustava je - izmišljen, pa se možda zadatak ne bi mogao rješiti, ali to je nebitno za ono što me zanima).
[dispmath]z_0z^8+\frac{(1+i)^8}{i}z^6+i^{56}z^2-16\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2001}=0[/dispmath]
E sada. da se traži neki imaginarni dio (odnosno [inlmath]y[/inlmath]) kao [inlmath]z_0[/inlmath], i ja recimo dobijem iz sustava jednadžbi broj [inlmath]4[/inlmath]. Da li moram napisati:

(1) Ovako
[dispmath]4z^8+\frac{(1+i)^8}{i}z^6+i^{56}z^2-16\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2001}=0[/dispmath]
(2) ili ovako
[dispmath]4iz^8+\frac{(1+i)^8}{i}z^6+i^{56}z^2-16\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2001}=0[/dispmath]
To me zanima, možda sam malo zakomplicirao pa me niste razumjeli, ali mislim da je pravilno (2), kao što je rekao Milovan...

Ja te opet slabo pratim, ali pokušaću.

Znači, ti iz nekog sistema poput ovog:
[dispmath]\begin{cases}|z_0|+\overline z_0^n=a\\ \\ \Im(z_0)>0.\end{cases}[/dispmath]
izračunaš realni i imaginarni deo. Recimo da je vrednost [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] takva da se za realni deo dobije [inlmath]0[/inlmath], a za imaginarni [inlmath]4[/inlmath].
Onda je [inlmath]z_0=x+iy=4i[/inlmath]
I onda u jednačinu kao u prvom zadatku ([inlmath]z_0^{2013}z^8+\frac{(1+i)^8}{i}z^6+i^{56}z^2-16\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2001}=0[/inlmath]) umesto [inlmath]z_0[/inlmath] stavljaš [inlmath]4i[/inlmath].
Dakle, ako dobro razumem, radi se o ovom drugom slučaju.

E, to me zanimalo. Hvala