Prijemni ispit ETF – 29. jun 2015.
4. zadatak
Pozdrav! Imam problem sa sledecim zadatkom:
Ako je [inlmath]k\in\mathbb{R}[/inlmath], [inlmath]i^2=-1[/inlmath], tada je moduo kompleksnog broja [inlmath]\displaystyle\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2015}+\frac{-1+5ki}{3i}-1[/inlmath] najmanji za [inlmath]k[/inlmath] jednako? ([inlmath]k=\frac{3}{5})[/inlmath]
Da bih odredio sta je [inlmath]\text{Re }(z)[/inlmath], a sta [inlmath]\text{Im }(z)[/inlmath], prvo sam malo sredio sam malo ovaj kompleksan broj
[dispmath]\left(\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}\right)^{2015}+\frac{-1+5ki}{3i}-1=\\
=i^{2015}+\frac{3i+15k}{9}-1=\frac{-6i+15k-9}{9}=\frac{5k-3}{3}-\frac{2}{3}i[/dispmath] Moduo kompleksnog broja se racuna po formuli [inlmath]|z|=\sqrt{\text{Re }(z)+\text{Im }(z)}[/inlmath]. Najmanji moguci moduo svakog kompleksnog broja (barem ja tako mislim) je [inlmath]0[/inlmath], pa ce biti
[dispmath]25k^2-30k+13=0[/dispmath] Medjutim, ova jednacina nema resenje u realnom domenu, pa je ocito da negde gresim? Hvala unapred!