Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Odrediti k tako da je moduo kompleksnog broja najmanji – prijemni ETF 2015.

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Odrediti k tako da je moduo kompleksnog broja najmanji – prijemni ETF 2015.

Postod Frank » Nedelja, 07. Jun 2020, 12:05

Prijemni ispit ETF – 29. jun 2015.
4. zadatak


Pozdrav! Imam problem sa sledecim zadatkom:
Ako je [inlmath]k\in\mathbb{R}[/inlmath], [inlmath]i^2=-1[/inlmath], tada je moduo kompleksnog broja [inlmath]\displaystyle\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2015}+\frac{-1+5ki}{3i}-1[/inlmath] najmanji za [inlmath]k[/inlmath] jednako? ([inlmath]k=\frac{3}{5})[/inlmath]
Da bih odredio sta je [inlmath]\text{Re }(z)[/inlmath], a sta [inlmath]\text{Im }(z)[/inlmath], prvo sam malo sredio sam malo ovaj kompleksan broj
[dispmath]\left(\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}\right)^{2015}+\frac{-1+5ki}{3i}-1=\\
=i^{2015}+\frac{3i+15k}{9}-1=\frac{-6i+15k-9}{9}=\frac{5k-3}{3}-\frac{2}{3}i[/dispmath] Moduo kompleksnog broja se racuna po formuli [inlmath]|z|=\sqrt{\text{Re }(z)+\text{Im }(z)}[/inlmath]. Najmanji moguci moduo svakog kompleksnog broja (barem ja tako mislim) je [inlmath]0[/inlmath], pa ce biti
[dispmath]25k^2-30k+13=0[/dispmath] Medjutim, ova jednacina nema resenje u realnom domenu, pa je ocito da negde gresim? Hvala unapred! :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Odrediti k tako da je moduo kompleksnog broja najmanji – prijemni ETF 2015.

Postod primus » Nedelja, 07. Jun 2020, 12:37

Za [inlmath]a>0[/inlmath] kvadratna funkcija [inlmath]y=ax^2+bx+c[/inlmath] ima minimum u tački [inlmath]T\left(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)[/inlmath].
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

  • +2

Re: Odrediti k tako da je moduo kompleksnog broja najmanji – prijemni ETF 2015.

Postod miletrans » Nedelja, 07. Jun 2020, 13:12

Jeste najmanji mogući moduo kompleksnog broja [inlmath]0[/inlmath], ali u ovom slučaju nikako ne može da bude jednak [inlmath]0[/inlmath]. Kada je moduo kompleksnog broja jednak nuli? Kada su i realni i imaginarni delovi jednaki nuli. U ovom slučaju je imaginarni deo nezavisan od parametra [inlmath]k[/inlmath] i nikako ne može da bude [inlmath]0[/inlmath].

Posmatrajući kompleksnu ravan, znamo da je moduo zapravo udaljenost posmatranog kompleksnog broja od koordinatnog početka. Znamo i da naš kompleksni broj mora da leži na pravoj [inlmath]y=-\frac{2}{3}[/inlmath]. Dakle, kolika je [inlmath]x[/inlmath] koordinata tačke koja leži na ovoj pravoj i najbliža je koordinatnom početku?
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Odrediti k tako da je moduo kompleksnog broja najmanji – prijemni ETF 2015.

Postod Frank » Nedelja, 07. Jun 2020, 13:36

Hvala obojici! Zadatak je kristalno jasan.

miletrans je napisao:Dakle, kolika je [inlmath]x[/inlmath] koordinata tačke koja leži na ovoj pravoj i najbliža je koordinatnom početku?

Buduci da je prava [inlmath]y=-\frac{2}{3}[/inlmath] paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi, [inlmath]x[/inlmath]-koordinata tacke koja lezi na ovoj pravoj i najbliza je koordinatnom pocetku je [inlmath]0[/inlmath], tj.
[dispmath]\frac{5k-3}{3}=0\\
5k-3=0\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{k=\frac{3}{5}}[/dispmath]
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Odrediti k tako da je moduo kompleksnog broja najmanji – prijemni ETF 2015.

Postod Daniel » Nedelja, 07. Jun 2020, 17:37

A i da se nisi setio pristupa koji je pokazao miletrans, mogao si da nađeš za koje [inlmath]k[/inlmath] će izraz [inlmath]25k^2-30k+13[/inlmath] biti minimalan (to je ovo što ti je primus i napisao, tj. [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath]), a mogao si i naći izvod izraza [inlmath]25k^2-30k+13[/inlmath] i izjednačiti ga s nulom, tj. [inlmath]50k-30=0[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +2

Re: Odrediti k tako da je moduo kompleksnog broja najmanji – prijemni ETF 2015.

Postod Daniel » Nedelja, 07. Jun 2020, 20:35

Htedoh još ovo,
Frank je napisao:[dispmath]\left(\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}\right)^{2015}+\frac{-1+5ki}{3i}-1=\\
=i^{2015}+\frac{3i+15k}{9}-1=\frac{-6i+15k-9}{9}=\frac{5k-3}{3}-\frac{2}{3}i[/dispmath]

Kada razlomak [inlmath]\frac{-1+5ki}{3i}[/inlmath] svodiš na realan imenilac, nema potrebe brojilac i imenilac množiti sa [inlmath]-3i[/inlmath]. Dovoljno je brojilac i imenilac pomnožiti samo sa [inlmath]i[/inlmath] (ili, ako ti je lakše zbog znaka, možeš i sa [inlmath]-i[/inlmath], ali trojka je definitivno nepotrebna).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 24 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:52 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs