Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

PostPoslato: Petak, 26. Jun 2020, 21:38
od Marijameme
Probni prijemni ispit MATF – 17. jun 2020.
20. zadatak


Pozdrav!
Imam problem sa jednim zadatkom:
Realni deo kompleksnog broja [inlmath]\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2020}{2020\choose k}\left(-i\sqrt3\right)^k[/inlmath] jednak je:

[inlmath]\text{A) }-2^{2020}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{B) }2^{2020}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{C) }-2^{2019}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{D) }2^{2019}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{E) }0[/inlmath]

Palo mi je na pamet da broj napišem kao geometrijski niz kome će prvi član, kao i količnik niza biti [inlmath]\left(-i\sqrt3\right)[/inlmath], pa da nađem njihov zbir, ali mi ostaje [inlmath]2020\choose k[/inlmath] s kojim ne znam šta da radim, a nisam ni sigurna da mogu da počnem ovako kako sam počela da rešavam zadatak.
Hvala na pomoći unapred!

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

PostPoslato: Subota, 27. Jun 2020, 09:39
od primus
Realni deo može da se zapiše u obliku:
[dispmath]\sum_{k=0}^{505}{2020\choose4k}\cdot9^k-\sum_{k=0}^{504}{2020\choose4k+2}\cdot3^{2k+1}[/dispmath]

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

PostPoslato: Subota, 27. Jun 2020, 11:50
od Daniel
@primus, meni baš i nije očigledno kako bismo mogli izračunati te dve sume? Ja bih to na drugi način, početnu sumu bih zapisao kao
[dispmath]\sum\limits_{k=0}^{2020}{2020\choose k}1^{2020-k}\left(-i\sqrt3\right)^k[/dispmath] a to je onda zapravo razvoj binoma [inlmath]\left(1-i\sqrt3\right)^{2020}[/inlmath]. Pretpostavljam da dalje nije problem.

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

PostPoslato: Subota, 27. Jun 2020, 12:26
od primus
@Daniel, brži i elegantniji način.

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

PostPoslato: Subota, 27. Jun 2020, 13:35
od Tetsuo
Daniel je napisao:[inlmath]\left(1-i\sqrt3\right)^{2020}[/inlmath]. Pretpostavljam da dalje nije problem.

Lajk kome je problem :D
Probao sam preko trigonometrijskog zapisa kompleksnog broja ali mi je resenje suprotnog znaka. Ne vidim gresku. Moduo mi je pozitivan i kosinus mi je pozitivan (a njihov proizvod cini realni deo kompleksnog broja).

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

PostPoslato: Subota, 27. Jun 2020, 14:05
od miletrans
Pogledaj ovde.

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

PostPoslato: Subota, 27. Jun 2020, 14:11
od Daniel
@Tetsuo
I inače, kad pitaš za neku grešku u svom postupku, mi na grešku možemo da ti ukažemo tek ako vidimo tvoj postupak, što znači da svoj postupak treba ovde da napišeš.
Logično, zar ne?

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

PostPoslato: Subota, 27. Jun 2020, 14:34
od Tetsuo
Izvinjavam se, shvatio sam gde sam pogresio ipak. U pitanju je bilo svodjenje na prvi kvadrant.

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

PostPoslato: Ponedeljak, 29. Jun 2020, 12:23
od drmm
Postoji još jedan, način (sličan Danielovom) da se zadatak uradi. Naime, možemo zapisati dati izraz na sledeći način
[dispmath]\sum_{k=0}^{2020}{2020\choose k}(-i)^k\left(\sqrt3\right)^k.[/dispmath] Primetimo da važi [inlmath]-i=i^{-1}[/inlmath], kao i [inlmath]i^{2020}=1[/inlmath], pa izraz možemo zapisati i kao
[dispmath]\sum_{k=0}^{2020}{2020\choose k}i^{2020-k}\left(\sqrt3\right)^k[/dispmath] što predstavlja razvoj izraza
[dispmath]\left(\sqrt3+i\right)^{2020}.[/dispmath] Sada se zadatak svodi na svodjenje kompleksnog broja na trigonometrijski oblik i upotrebu Moavrovove formule.

Re: Realni deo kompleksnog broja – probni prijemni MATF 2020.

PostPoslato: Sreda, 01. Jul 2020, 00:13
od Daniel
Fina ideja. :thumbup:
Za izraz koji si ti dobio, [inlmath]\left(\sqrt3+i\right)^{2020}[/inlmath], i izraz koji sam ja dobio, [inlmath]\left(1-i\sqrt3\right)^{2020}[/inlmath] može se odmah videti da su međusobno identični – ako se neki od njih pomnoži sa [inlmath]i^{2020}[/inlmath] (koji je jednak [inlmath]1[/inlmath]) dobija se taj drugi izraz.