Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]
  • +1

Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

Postod Srdjan01 » Utorak, 22. Septembar 2020, 17:41

Prijemni ispit ETF – 26. jun 2017.
4. zadatak


Dati su kompleksni brojevi [inlmath]z_1=2017+2018i[/inlmath], [inlmath]z_2=2018+2019i[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle w=(z_2-z_1)^{-2020}\cdot\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}[/inlmath] (gde je [inlmath]\overline{z_1}[/inlmath] konjugovano kompleksni broj broja [inlmath]z_1[/inlmath] i [inlmath]i^2=-1[/inlmath]). Tada je [inlmath]|w|[/inlmath] jednak:
[inlmath]\text{(A)}\;\sqrt5\hspace{1cm}\text{(B)}\;\sqrt{2017}\hspace{1cm}\text{(C)}\;\sqrt{2020}\hspace{1cm}\enclose{circle}{\text{(D)}\;\sqrt2}\hspace{1cm}\text{(E)}\sqrt{10}\hspace{1cm}\text{(N)}\;[/inlmath]Ne znam

[inlmath]z_1=2017+2018i\\
z_2=2018+2019i\\
\displaystyle w=(z_2-z_1)^{-2020}\cdot\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}[/inlmath]
[dispmath](z_2-z_1)^{-2020}=(2018+2019i-(2017+2018i))=\\
=(2018+2019i-2017-2018i)=\\
=\enclose{box}{(1+i)^{-2020}}\\
\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}=\left(\frac{2018-2018i}{2018}\right)^{2021}=\left(\frac{\cancel{2018}(1-i)}{\cancel{2018}}\right)^{2021}=\\
=\enclose{box}{(1-i)^{2021}}\\
(1+i)^{-2020}\cdot(1-i)^{2021}=\frac{1}{(1+i)^{2020}}\cdot(1-i)^{2021}=\frac{(1-i)^{2021}}{(1+i)^{2020}}=\\
=\enclose{box}{1-i}\\
|w|=\sqrt{1^2+1^2}=\enclose{box}{\sqrt2}[/dispmath]
Korisnikov avatar
 
Postovi: 91
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 61 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

Postod Daniel » Sreda, 23. Septembar 2020, 13:45

Malo bih prokomentarisao...

Srdjan01 je napisao:[dispmath](z_2-z_1)^{-2020}=(2018+2019i-(2017+2018i))=\\
=(2018+2019i-2017-2018i)=\\
=\enclose{box}{(1+i)^{-2020}}[/dispmath]

OK, ovde je u dva unutrašnja koraka izostavljen eksponent. Propust pri kucanju, al' valja napomenuti.

Srdjan01 je napisao:[dispmath]\cdots=\frac{(1-i)^{2021}}{(1+i)^{2020}}=\\
=\enclose{box}{1-i}[/dispmath]

Jednakost jeste tačna, mada bih rekao da je ovde preskočeno nekoliko koraka (da u imeniocu umesto plus imamo minus, jednakost bi bila očigledna).



Moglo bi i jednostavnije, korišćenjem osobina modula [inlmath]|z_1z_2|=|z_1||z_2|[/inlmath] i [inlmath]\left|z^n\right|=|z|^n[/inlmath].
Tada je
[dispmath]|w|=\left|(z_2-z_1)^{-2020}\right|\cdot\left|\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}\right|\\
|w|=|z_2-z_1|^{-2020}\cdot\left|\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right|^{2021}[/dispmath] Kako si već izračunao, to je
[dispmath]|w|=|1+i|^{-2020}\cdot|1-i|^{2021}[/dispmath] Pošto znamo da je [inlmath]|1+i|=|1-i|=\sqrt2[/inlmath], to se zadatak dalje vrlo elegantno privodi kraju.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8841
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4896 puta
Pohvaljen: 4732 puta

Re: Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

Postod Micko » Četvrtak, 10. Jun 2021, 18:05

Zbog cega je [inlmath]|1+i|=|1-i|[/inlmath]?
Micko  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

Postod miletrans » Petak, 11. Jun 2021, 15:09

Vodi računa, ova dva broja nikako nisu jednaka. Jednaki su njihovi moduli što lako možeš da proveriš tako što napišeš izraz za oba modula.

Možda te buni kako je Srdjan01 skratio brojilac i imenilac? Kvadriraj izraze [inlmath]1+i[/inlmath] i [inlmath]1-i[/inlmath], pa vidi šta će se desiti kada dobijene rezultate stepenuješ parnim brojem. Pretpostavljam da je Daniel na to mislio kada je napisao da je izostavljeno nekoliko koraka.
Globalni moderator
 
Postovi: 514
Zahvalio se: 51 puta
Pohvaljen: 601 puta

Re: Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

Postod Micko » Petak, 11. Jun 2021, 19:17

I dalje mi nije jasno, pokusao sam i kao resenje dobijem [inlmath]-2i[/inlmath] kada kvadriram, znaci bice koren od [inlmath]-2i[/inlmath], a trebalo bi da dobijem [inlmath]1-i[/inlmath], ne znam u cemu je problem...
Poslednji put menjao miletrans dana Petak, 11. Jun 2021, 21:53, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje LaTex-a - Tačka 13. Pravilnika!
Micko  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

Postod miletrans » Petak, 11. Jun 2021, 22:02

Poslednji put ti kažem, počni da koristiš LaTex. Ako je problem, imamo Potforum za to, tu sam (i ne samo ja) na PP, imamo detaljno uputstvo, pa pitaj ili pročitaj.

Što se tiče zadatka, vodi računa da ti se ne traži vrednost [inlmath]1-i[/inlmath] ili [inlmath]1+i[/inlmath]. Traži se vrednost njihovog količnika. Zapiši brojilac kao:
[dispmath]\left(1-i\right)^{2021}=(1-i)\cdot\left(1-i\right)^{2020}=(1-i)\cdot\left(\left(1-i\right)^2\right)^{1010}[/dispmath] Onda primeni sličan pristup i za imenilac i ne bi trebalo da bude problem da se vidi šta se sa čim krati.
Globalni moderator
 
Postovi: 514
Zahvalio se: 51 puta
Pohvaljen: 601 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 04. Decembar 2021, 13:57 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs