Stranica 1 od 1

Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

PostPoslato: Utorak, 22. Septembar 2020, 17:41
od Srdjan01
Prijemni ispit ETF – 26. jun 2017.
4. zadatak


Dati su kompleksni brojevi [inlmath]z_1=2017+2018i[/inlmath], [inlmath]z_2=2018+2019i[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle w=(z_2-z_1)^{-2020}\cdot\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}[/inlmath] (gde je [inlmath]\overline{z_1}[/inlmath] konjugovano kompleksni broj broja [inlmath]z_1[/inlmath] i [inlmath]i^2=-1[/inlmath]). Tada je [inlmath]|w|[/inlmath] jednak:
[inlmath]\text{(A)}\;\sqrt5\hspace{1cm}\text{(B)}\;\sqrt{2017}\hspace{1cm}\text{(C)}\;\sqrt{2020}\hspace{1cm}\enclose{circle}{\text{(D)}\;\sqrt2}\hspace{1cm}\text{(E)}\sqrt{10}\hspace{1cm}\text{(N)}\;[/inlmath]Ne znam

[inlmath]z_1=2017+2018i\\
z_2=2018+2019i\\
\displaystyle w=(z_2-z_1)^{-2020}\cdot\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}[/inlmath]
[dispmath](z_2-z_1)^{-2020}=(2018+2019i-(2017+2018i))=\\
=(2018+2019i-2017-2018i)=\\
=\enclose{box}{(1+i)^{-2020}}\\
\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}=\left(\frac{2018-2018i}{2018}\right)^{2021}=\left(\frac{\cancel{2018}(1-i)}{\cancel{2018}}\right)^{2021}=\\
=\enclose{box}{(1-i)^{2021}}\\
(1+i)^{-2020}\cdot(1-i)^{2021}=\frac{1}{(1+i)^{2020}}\cdot(1-i)^{2021}=\frac{(1-i)^{2021}}{(1+i)^{2020}}=\\
=\enclose{box}{1-i}\\
|w|=\sqrt{1^2+1^2}=\enclose{box}{\sqrt2}[/dispmath]

Re: Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

PostPoslato: Sreda, 23. Septembar 2020, 13:45
od Daniel
Malo bih prokomentarisao...

Srdjan01 je napisao:[dispmath](z_2-z_1)^{-2020}=(2018+2019i-(2017+2018i))=\\
=(2018+2019i-2017-2018i)=\\
=\enclose{box}{(1+i)^{-2020}}[/dispmath]

OK, ovde je u dva unutrašnja koraka izostavljen eksponent. Propust pri kucanju, al' valja napomenuti.

Srdjan01 je napisao:[dispmath]\cdots=\frac{(1-i)^{2021}}{(1+i)^{2020}}=\\
=\enclose{box}{1-i}[/dispmath]

Jednakost jeste tačna, mada bih rekao da je ovde preskočeno nekoliko koraka (da u imeniocu umesto plus imamo minus, jednakost bi bila očigledna).



Moglo bi i jednostavnije, korišćenjem osobina modula [inlmath]|z_1z_2|=|z_1||z_2|[/inlmath] i [inlmath]\left|z^n\right|=|z|^n[/inlmath].
Tada je
[dispmath]|w|=\left|(z_2-z_1)^{-2020}\right|\cdot\left|\left(\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right)^{2021}\right|\\
|w|=|z_2-z_1|^{-2020}\cdot\left|\frac{\overline{z_1}+1}{2018}\right|^{2021}[/dispmath] Kako si već izračunao, to je
[dispmath]|w|=|1+i|^{-2020}\cdot|1-i|^{2021}[/dispmath] Pošto znamo da je [inlmath]|1+i|=|1-i|=\sqrt2[/inlmath], to se zadatak dalje vrlo elegantno privodi kraju.

Re: Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

PostPoslato: Četvrtak, 10. Jun 2021, 18:05
od Micko
Zbog cega je [inlmath]|1+i|=|1-i|[/inlmath]?

Re: Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

PostPoslato: Petak, 11. Jun 2021, 15:09
od miletrans
Vodi računa, ova dva broja nikako nisu jednaka. Jednaki su njihovi moduli što lako možeš da proveriš tako što napišeš izraz za oba modula.

Možda te buni kako je Srdjan01 skratio brojilac i imenilac? Kvadriraj izraze [inlmath]1+i[/inlmath] i [inlmath]1-i[/inlmath], pa vidi šta će se desiti kada dobijene rezultate stepenuješ parnim brojem. Pretpostavljam da je Daniel na to mislio kada je napisao da je izostavljeno nekoliko koraka.

Re: Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

PostPoslato: Petak, 11. Jun 2021, 19:17
od Micko
I dalje mi nije jasno, pokusao sam i kao resenje dobijem [inlmath]-2i[/inlmath] kada kvadriram, znaci bice koren od [inlmath]-2i[/inlmath], a trebalo bi da dobijem [inlmath]1-i[/inlmath], ne znam u cemu je problem...

Re: Modul kompleksnog broja – prijemni ETF 2017.

PostPoslato: Petak, 11. Jun 2021, 22:02
od miletrans
Poslednji put ti kažem, počni da koristiš LaTex. Ako je problem, imamo Potforum za to, tu sam (i ne samo ja) na PP, imamo detaljno uputstvo, pa pitaj ili pročitaj.

Što se tiče zadatka, vodi računa da ti se ne traži vrednost [inlmath]1-i[/inlmath] ili [inlmath]1+i[/inlmath]. Traži se vrednost njihovog količnika. Zapiši brojilac kao:
[dispmath]\left(1-i\right)^{2021}=(1-i)\cdot\left(1-i\right)^{2020}=(1-i)\cdot\left(\left(1-i\right)^2\right)^{1010}[/dispmath] Onda primeni sličan pristup i za imenilac i ne bi trebalo da bude problem da se vidi šta se sa čim krati.