Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2018.
3. zadatak
Pozdrav,
Imam problem sa sledećim zadatkom;
Ako kompleksan broj [inlmath]z[/inlmath] različit od nule, zadovoljava uslove [inlmath]\left|z-1\right|=1[/inlmath] i [inlmath]\left|z+i\right|=1[/inlmath], onda je [inlmath]z^{2018}[/inlmath] jednako:
Tačan odgovor je [inlmath]-2^{1009}i[/inlmath]
Prevođenjem kompleksnog broja u opšti oblik [inlmath]x+iy[/inlmath] i korišćenjem njegovog modula, dobijamo sledeće;
Prvi sistem;
[dispmath]\left(x-1\right)^2+y^2=1+0i[/dispmath] Drugi sistem;
[dispmath]x^2+\left(y+1\right)^2=1+0i[/dispmath] Potom sam kod imaginarnog dela prvog sistema izdvojio da mi je [inlmath]y=0[/inlmath] i dobija se sledeće;
[dispmath]x^2-2x+1=1[/dispmath] Odakle dobijam dve vrednosti za [inlmath]x[/inlmath]: [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]
E sad, kako ne mogu dve vrednosti važiti istovremeno, kod kog dela treba da ubacim te dve vrednosti, da li u početni oblik zadatka, ili kod dela gde sam preveo taj izraz u opšti oblik? Takođe, ako mi je jedna od tih vrednosti za prvi sistem tačna, da li onda mora važiti i za drugi sistem ili je u suprotnom odbacujem? Isto to važi i za drugi sistem ukoliko bih tu izrazio da mi je [inlmath]x=1[/inlmath]?
Hvala unapred na sugestijama!