Stranica 1 od 1

Kompleksni broj

PostPoslato: Petak, 30. April 2021, 19:19
od markonikolic23
Medju kompleksnim brojevima [inlmath]z=x+yi[/inlmath] koji zadovoljavaju uslov [inlmath]|z-(4+3i)|=2[/inlmath] broju [inlmath]z_0=x_0+iy_0[/inlmath] odgovara tacka koja je najbliza koordinatnom pocetku. Zbir [inlmath]x_0+y_0[/inlmath] je?
[dispmath]a)\;\frac{49}{5}\quad b)\;\frac{28}{5}\quad c)\;\frac{21}{5}\quad d)\;\frac{42}{5}\quad e)\;7[/dispmath]
Ovde ne razumem sta se podrazumeva pod ovo [inlmath]z_0[/inlmath], [inlmath]x_0[/inlmath] i [inlmath]y_0[/inlmath]?
Ovaj izraz preko modula znam da izvedem, ne razumem kako se nalazi ovde tacka, da li postoji neka formula? Hvala

Re: Kompleksni broj

PostPoslato: Subota, 01. Maj 2021, 05:18
od primus
Iz datog uslova se dobija da je [inlmath]y=\sqrt{4-(x-4)^2}+3[/inlmath]. Rastojanje tačke od koordinatnog početka dato je izrazom [inlmath]\sqrt{x^2+y^2}[/inlmath]. Definišimo [inlmath]f(x)=\sqrt{x^2+\left(\sqrt{4-(x-4)^2}+3\right)^2}[/inlmath] i [inlmath]g(x)=x^2+\left(\sqrt{4-(x-4)^2}+3\right)^2[/inlmath]. Koordinatu [inlmath]x_0[/inlmath] dobijamo iz uslova [inlmath]f'(x)=0[/inlmath], odnosno [inlmath]g'(x)=0[/inlmath]. Bilo koju od ove dve jednačine da upotrebiš dobićeš istu vrednost za [inlmath]x_0[/inlmath] jer je [inlmath]g(x)=\left(f(x)\right)^2[/inlmath]. Kad izračunaš [inlmath]x_0[/inlmath] uvrstiš dobijenu vrednost u [inlmath]y_0=\sqrt{4-(x_0-4)^2}+3[/inlmath] i odrediš [inlmath]y_0[/inlmath].

Re: Kompleksni broj

PostPoslato: Četvrtak, 06. Maj 2021, 01:28
od Daniel
primus je napisao:Iz datog uslova se dobija da je [inlmath]y=\sqrt{4-(x-4)^2}+3[/inlmath].

Ovde se mora voditi računa da je [inlmath]y={\color{red}\pm}\sqrt{4-(x-4)^2}+3[/inlmath]. Zato se moraju razmatrati oba slučaja pa videti u kom slučaju se dobije tačka bliža koordinatnom početku.

Može se rešiti i preko analitičke geometrije. Iz datog uslova se dobija [inlmath](x-4)^2+(y-3)^2=2^2[/inlmath], što je zapravo jednačina kružnice. Tražimo onu tačku te kružnice koja je najbliža koordinatnom početku, a to će zapravo biti jedna od dve presečne tačke te kružnice i prave koja prolazi kroz njen centar i kroz koordinatni početak:

kompleksni broj.png
kompleksni broj.png (1.55 KiB) Pogledano 639 puta

Na slici je tražena tačka obeležena zeleno.