Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Stepenovanje kompleksnih brojeva – prijemni FON 2017.

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Stepenovanje kompleksnih brojeva – prijemni FON 2017.

Postod buca » Petak, 11. Jun 2021, 19:54

Prijemni ispit FON – 27. jun 2017.
6. zadatak



Zadatak glasi ovako:

Ako je [inlmath]n[/inlmath] prirodan broj, [inlmath]\displaystyle f(n)=\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^n+\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^n[/inlmath] i [inlmath]i^2=-1[/inlmath], onda je [inlmath]f(2017)+f(2013)[/inlmath]: [inlmath]0[/inlmath]

Ja kako god da uradim na kraju dobijem [inlmath]\left(\sqrt2\right)^{1007}[/inlmath]. Postupak je predugacak. Jel postoji neki brz nacin da se ovo resi?
buca  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Stepenovanje kompleksnih brojeva – prijemni FON 2017.

Postod Acim » Petak, 11. Jun 2021, 20:03

Najbolji način (po meni) je Moavrova formula, kad imaš korene u izrazu.
Uzmimo npr jedan deo izraza; [inlmath]\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2017}[/inlmath]
Prvo računaš argument kompleksnog broja, a to je [inlmath]\sqrt{1^2+1^2}[/inlmath] tj. [inlmath]\sqrt2[/inlmath]
Pa onda izračunaš moduo, kojeg pišemo u sledećem obliku;
[dispmath]1+i=\sqrt2\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)[/dispmath] Potom podeliš [inlmath]1+i[/inlmath] sa [inlmath]\sqrt2[/inlmath] i onda dobijaš;
[dispmath]\sqrt2\left(\cos\frac{\sqrt2}{2}+i\sin\frac{\sqrt2}{2}\right)[/dispmath] Onda, nacrtaš trig. kružnicu i vidiš gde se, takoreći, [inlmath]2[/inlmath] puta seče isti ugao i u ovom slučaju, to je [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]
Uviđamo da je ta vrednost [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] i sad kad si to odradio stepenuješ na [inlmath]2017[/inlmath];
[dispmath]\left(\sqrt2\right)^{2017}\left(\cos2017\cdot\frac{\pi}{4}+i\sin2017\cdot\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath] Tako uradiš i za ostale vrednosti.
Naravno, ne zaboravi da i [inlmath]\sqrt2[/inlmath] u imeniocu stepenuješ istim stepenom.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +1

Re: Stepenovanje kompleksnih brojeva – prijemni FON 2017.

Postod miletrans » Petak, 11. Jun 2021, 23:13

Pogledaj hint koji sam napisao u ovoj temi vezan za stepenovanje kompleksnih brojeva [inlmath]1+i[/inlmath] i [inlmath]1-i[/inlmath], pa pokušaj da to primeniš na svoj slučaj. Mislim da je tako lakše.

@Acim,
Obrnuo si moduo i argument. Moduo ovog kompleksnog broja bi bio: [inlmath]|z|=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}[/inlmath], i onda dalje...
Globalni moderator
 
Postovi: 557
Zahvalio se: 51 puta
Pohvaljen: 656 puta

Re: Stepenovanje kompleksnih brojeva – prijemni FON 2017.

Postod Acim » Subota, 12. Jun 2021, 09:17

miletrans je napisao:Obrnuo si moduo i argument. Moduo ovog kompleksnog broja bi bio: [inlmath]|z|=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}[/inlmath]

Da ako bi gledali ceo izraz, tj. [inlmath]\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2017}[/inlmath], ali ja sam posebno stepenovao brojilac, a posebno imenilac. Jel bi to bila greška, pošto sam tako uvek izdvajao u svim zadacima ovog tipa i nikad nisam omašio (ili sam imao sreće)?
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Stepenovanje kompleksnih brojeva – prijemni FON 2017.

Postod Daniel » Sreda, 16. Jun 2021, 13:27

@Acim
Nije nikakva greška, može i tako, jer je [inlmath]\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}[/inlmath], ali moram reći da ja u tvom postupku ništa nisam razumeo. Pogotovo ne vidim kako si došao do [inlmath]\cos\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] (a što je, sasvim očigledno, pogrešno).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5015 puta
Pohvaljen: 4854 puta

Re: Stepenovanje kompleksnih brojeva – prijemni FON 2017.

Postod Acim » Sreda, 16. Jun 2021, 15:21

Tako sam radio u svim mogućim zadacima i nikad nisam pogrešio. Konkretno kod ovog zadatka, dobijam tačan rezultat.
[inlmath]1+i=\sqrt2\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)[/inlmath] onda sam podelio sa [inlmath]\sqrt2[/inlmath], tj. delim levu stranu desnom i dobijam;
[inlmath]\left(\frac{1}{\sqrt2}\cos\varphi+\frac{1}{\sqrt2}\sin\varphi\right)[/inlmath] pa onda racionališem i dobijem navedeni oblik iznad. Možda jeste smotan način, ali me do sada nikad nije izneverio.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 28. Jun 2022, 20:10 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs