Realni i imaginarni deo kompleksnog broja

PostPoslato: Utorak, 07. Septembar 2021, 01:37
od announcedgrain
Pozdrav, da li neko zna kako se radi ovaj zadatak
[dispmath]z=\frac{(1-i)^{2021}}{(1+i)^{2020}}[/dispmath] koliko iznosi [inlmath]\text{Re}(z)-\text{Im}(z)[/inlmath]?

hvala unaprijed :))

Re: Realni i imaginarni deo kompleksnog broja

PostPoslato: Utorak, 07. Septembar 2021, 08:54
od Acim
Zdravo,
Zadatke ovog tipa je najlakše uraditi na sledeći način:
Uzmimo prvo izraz u brojiocu - [inlmath]\left(1-i\right)^{2021}[/inlmath]. Ideja je da se napiše kao [inlmath]\left(1-i\right)\cdot\left(\left(1-i\right)^2\right)^{1010}[/inlmath].
Sređivanjem izraza dobijamo:
[dispmath]\left(1-i\right)\cdot\left(-2i\right)^{1010}=\left(1-i\right)\cdot-2^{1010}=2^{1010}\left(i-1\right)[/dispmath] Isto to uradimo i za izraz u imeniocu;
[dispmath]\left(1+i\right)^{2020}=\left(\left(1+i\right)^2\right)^{1010}=\left(2i\right)^{1010}=-2^{1010}[/dispmath] Sada nam izraz [inlmath]z[/inlmath] dobija oblik;
[dispmath]z=\frac{2^{1010}\left(i-1\right)}{-2^{1010}}=1-i[/dispmath] Realni deo nam je [inlmath]1[/inlmath], a imaginarni [inlmath]-1[/inlmath].
Znači, [inlmath]\text{Re}\left(z\right)-\text{Im}\left(z\right)=1-\left(-1\right)=2[/inlmath]

P.S. Bilo bi poželjno da okačiš rešenje zadatka (i bilo kog drugog koga postavljaš). :)

Re: Realni i imaginarni deo kompleksnog broja

PostPoslato: Utorak, 07. Septembar 2021, 10:00
od Daniel
Drugi način je da zadati izraz napišemo kao
[dispmath]z=\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{2020}(1-i)[/dispmath] a zatim razlomak unutar zagrade sredimo tako što mu i brojilac i imenilac pomnožimo sa [inlmath](1-i)[/inlmath]...

Acim je napisao:P.S. Bilo bi poželjno da okačiš rešenje zadatka (i bilo kog drugog koga postavljaš). :)

A takođe i svoj pokušaj rešavanja.