MATEMANIJA

Poštovani, zadatak glasi: odrediti sve kompleksne brojeve [inlmath]z=a+bi[/inlmath], ako je [inlmath]z^4=-7-24i[/inlmath].

Započela sam zadatak ovako [inlmath](a+b\cdot i)^4=a^4+4\cdot a^3\cdot b\cdot i-6\cdot a^2\cdot b^2-4\cdot a\cdot b^3\cdot i+b^4[/inlmath].
Nakon toga sam izjednačila realan deo kompleksnog broja sa [inlmath]-7[/inlmath], a imaginarni sa [inlmath]-24\cdot i[/inlmath].
Međutim, kada dalje krenem da rešavam i da tražim [inlmath]a,b[/inlmath] samo se komplikuje i ne vodi ka rešenju.
Može li neko da me usmeri da li rešavam zadatak na dobar način i kako dalje ići, hvala unapred.

Dobro si počela i dobila sistem jednačina[dispmath]a^4-6a^2b^2+b^4=-7[/dispmath] [dispmath]4a^3b-4ab^3=-24[/dispmath] koje možemo transformisati pa imamo sledeći sistem[dispmath](a^2-b^2)^2-4a^2b^2=-7[/dispmath] [dispmath]ab(a^2-b^2)=-6[/dispmath]Sada uvedi smenu [dispmath]x=a^2-b^2[/dispmath] [dispmath]y=ab[/dispmath] Novi pomoćni sistem je sistem kvadratnih jednačina koji možeš rešti metodom zamene.
Drugi ( možda jednostavniji ali malo duži ) način je da uvedeš smenu [inlmath]x=z^2, (x=a+ib)[/inlmath], pa novu pomoćnu jednačinu [inlmath]x^2=-7-24i[/inlmath] rešiš postupkom koji si navela.
Treći način rešavanja jeste primena formula za korenovanje kompleksnih brojeva ( u trigonometrijskom obliku ). (To je gradivo trećeg razreda srednje škole).