Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod Daniel » Sreda, 09. Januar 2013, 22:07

eseper je napisao:2.
[dispmath]|z-2i|>|z+4|[/dispmath] i
[dispmath]\cos^2\frac{8}{\pi}|z|-\sin^2\frac{8}{\pi}|z|\ge\frac{\sqrt[]{2}}{2},\;|z|<15[/dispmath]

Kad središ nejednačinu s modulima dobićeš linearnu nejednačinu [inlmath]y<-2x-3[/inlmath], tj. u kompleksnoj ravni rešenja će biti sve ono što je ispod tog pravca.

[inlmath]\cos^2\frac{8}{\pi}\left|z\right|-\sin^2\frac{8}{\pi}\left|z\right|[/inlmath] transformišeš prema formuli za kosinus dvostrukog ugla, [inlmath]\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x[/inlmath], pa ćeš imati
[dispmath]\cos\frac{16}{\pi}\left|z\right|\ge\frac{\sqrt 2}{2},\quad\left|z\right|<15[/dispmath]
i iz tih uslova se odredi [inlmath]\left|z\right|[/inlmath]... Nego, si ti siguran da si dobro napisao postavku? U zadacima je mnogo logičnije da se pod argumentom sinusa ili kosinusa broj [inlmath]\pi[/inlmath] nađe u brojiocu, kako bi se kratio... A ovde bismo dobili da nam u rezultatu figuriše [inlmath]\pi^2[/inlmath], što je malo bzvz... :shock:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod eseper » Sreda, 09. Januar 2013, 22:17

Daniel je napisao:Zatim odrediš rešenja po [inlmath]\left|z-i\right|[/inlmath], vodeći računa o tome da je logaritam opadajuća funkcija kada mu je osnova između nule i jedinice.

Znači li to da će sve ono ispred logaritma promijeniti predznak?

konkretno [dispmath]\log_{0.5}z-i=-1[/dispmath]
odnosno
[dispmath]-x-yi+i=-1[/dispmath]?

Edit: Krivo sam postavio stvar. Nakon što dobijemo [inlmath]t_1[/inlmath] i [inlmath]t_2[/inlmath] vratimo se u onu gore logaritamsku jednadžbu. Jasni mi je kako smo dobili [inlmath]2[/inlmath] ([inlmath]0.5^{-1}[/inlmath]), ali kako korijen iz dva kroz dva?
[dispmath]0.5^\frac{1}{2}[/dispmath]
A ovdje [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}<\left|z-i\right|<2[/inlmath] su se znakovi obrnuli zbog logaritma čija je baza [inlmath]<1[/inlmath] ? Nadam se da sam se dobro ispravio. :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod Daniel » Sreda, 09. Januar 2013, 22:51

eseper je napisao:Znači li to da će sve ono ispred logaritma promijeniti predznak?

konkretno [dispmath]\log_{0.5}z-i=-1[/dispmath]
odnosno
[dispmath]-x-yi+i=-1[/dispmath]?

Ni posle deset čitanja, nisam razumeo pitanje. :?: :?
Ali, da pojasnim to što sam napisao za opadajuću funkciju.
To znači, kada dobijemo da je rešenje kvadratne nejednačine [inlmath]-1<t<\frac{1}{2}[/inlmath] i vratimo smenu, imaćemo
[inlmath]\log_{0,5}\left|z-i\right|>-1[/inlmath]
[inlmath]\log_{0,5}\left|z-i\right|<\frac{1}{2}[/inlmath]
Pošto je logaritam kada je osnova između 0 i 1 opadajuća funkcija, prilikom oslobađanja od logaritma ovde će se promeniti znak nejednakosti:
[inlmath]\left|z-i\right|<\left(0,5\right)^{-1}[/inlmath]
[inlmath]\left|z-i\right|>\left(0,5\right)^\frac{1}{2}[/inlmath]

(Sad videh da si se u međuvremenu editovao, ali kad sam već ovo napisao, nema veze, neka ostane.;) )

eseper je napisao:ali kako korijen iz dva kroz dva?
[dispmath]0.5^\frac{1}{2}[/dispmath]

[dispmath]0,5^\frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt 1}{\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}[/dispmath]
pa onda racionalizacija
[dispmath]\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2\cdot\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod eseper » Sreda, 09. Januar 2013, 22:53

Da, ispravio sam se. Mozak mi više ne radi kako treba, nastavljam sutra. :)

Hvala na trudu!
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod Daniel » Sreda, 09. Januar 2013, 22:53

eseper je napisao:A ovdje [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}<\left|z-i\right|<2[/inlmath] su se znakovi obrnuli zbog logaritma čija je baza [inlmath]<1[/inlmath] ? Nadam se da sam se dobro ispravio. :)

Uh... Ajd javi mi kad završiš s editovanjima, pa da mogu da napišem jedan, jedinstven odgovor. :)
Da, dobro rezonuješ, to se dešava upravo zbog opadajuće funkcije, kao što sam i napisao u prethodnom postu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod eseper » Četvrtak, 10. Januar 2013, 13:57

Rješio sam prvi dio zadatka i dobio, kao što si napisao, koncentrične kružnice. Ona s uslovom da je [inlmath]<4[/inlmath], odnosno [inlmath]r=2[/inlmath], je dosta veća od druge, kojoj je radijus [inlmath]0.35[/inlmath]. Sve skupa nalikuje nišanu. :)

Možeš li napisati drugi dio zadatka? Nije mi najjasnije ovo s dva slučaja pa nadalje.
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod Daniel » Četvrtak, 10. Januar 2013, 19:03

[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi-3\mathrm{ctg}\:\phi\ge 0[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi-\frac{3}{\mathrm{tg}\:\phi}\ge 0[/dispmath]
Mora biti zadovoljeno [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi\ne 0[/inlmath]
[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi\ge\frac{3}{\mathrm{tg}\:\phi}[/dispmath]
Sada pre množenja obe strane sa [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi[/inlmath] moramo diskutovati dva slučaja: prvi, kada je [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi>0[/inlmath] (tada se pri množenju znak nejednakosti neće promeniti) i drugi, kada je [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi<0[/inlmath] (tada će se pri množenju znak jednakosti promeniti).

[inlmath]\left.1\right)\quad\mathrm{tg}\:\phi>0[/inlmath]
Ako se setimo čitanja tangensa s trigonometrijskog kruga, ovaj uslov će biti zadovoljen kada se ugao [inlmath]\phi[/inlmath] nalazi u [inlmath]1.[/inlmath] ili u [inlmath]3.[/inlmath] kvadrantu.
[dispmath]\mathrm{tg}^2\phi\ge 3[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi\le -\sqrt 3\quad\lor\quad\mathrm{tg}\:\phi\ge\sqrt 3[/dispmath]
što, u preseku s uslovom ovog slučaja, [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi>0[/inlmath], daje
[dispmath]\mathrm{tg}\:\phi\ge\sqrt 3[/dispmath]
[dispmath]\frac{\pi}{3}+k\pi\le\phi<\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath]
[inlmath]\left.2\right)\quad\mathrm{tg}\:\phi<0[/inlmath]
Ovaj uslov će biti zadovoljen kada se ugao [inlmath]\phi[/inlmath] nalazi u [inlmath]2.[/inlmath] ili u [inlmath]4.[/inlmath] kvadrantu.
[dispmath]\mathrm{tg}^2\phi\le 3[/dispmath]
[dispmath]-\sqrt 3\le\mathrm{tg}\:\phi\le\sqrt 3[/dispmath]
što, u preseku s uslovom ovog slučaja, [inlmath]\mathrm{tg}\:\phi<0[/inlmath], daje
[dispmath]-\sqrt 3\le\mathrm{tg}\:\phi<0[/dispmath]
[dispmath]-\frac{\pi}{3}+k\pi\le\phi<k\pi[/dispmath]

Unija rešenja ova dva slučaja nam daje konačno rešenje, a to je
[dispmath]-\frac{\pi}{3}+k\pi\le\phi<k\pi\quad\lor\quad\frac{\pi}{3}+k\pi\le\phi<\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod eseper » Četvrtak, 10. Januar 2013, 23:28

Daniel je napisao:
eseper je napisao:2.
[dispmath]|z-2i|>|z+4|[/dispmath] i
[dispmath]\cos^2\frac{8}{\pi}|z|-\sin^2\frac{8}{\pi}|z|\ge\frac{\sqrt[]{2}}{2},\;|z|<15[/dispmath]

Kad središ nejednačinu s modulima dobićeš linearnu nejednačinu [inlmath]y<-2x-3[/inlmath], tj. u kompleksnoj ravni rešenja će biti sve ono što je ispod tog pravca.

[inlmath]\cos^2\frac{8}{\pi}\left|z\right|-\sin^2\frac{8}{\pi}\left|z\right|[/inlmath] transformišeš prema formuli za kosinus dvostrukog ugla, [inlmath]\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x[/inlmath], pa ćeš imati
[dispmath]\cos\frac{16}{\pi}\left|z\right|\ge\frac{\sqrt 2}{2},\quad\left|z\right|<15[/dispmath]
i iz tih uslova se odredi [inlmath]\left|z\right|[/inlmath]... Nego, si ti siguran da si dobro napisao postavku? U zadacima je mnogo logičnije da se pod argumentom sinusa ili kosinusa broj [inlmath]\pi[/inlmath] nađe u brojiocu, kako bi se kratio... A ovde bismo dobili da nam u rezultatu figuriše [inlmath]\pi^2[/inlmath], što je malo bzvz... :shock:

Sigurno je zadatak takav, provjerio sam.

Jel možeš napisati od transformacije pa nadalje? Uključujući i skicu ako ne bi bio problem.
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod Daniel » Petak, 11. Januar 2013, 00:14

eseper je napisao:Sigurno je zadatak takav, provjerio sam.

Zaista neverovatno... :crazy: :wtf: Ja sam i dalje vrlo, vrlo ubeđen da je u pitanju greška i da zadatak treba da glasi
[dispmath]\cos^2\frac{\pi}{8}\left|z\right|-\sin^2\frac{\pi}{8}\left|z\right|\ge\frac{\sqrt 2}{2},\quad\left|z\right|<15[/dispmath]
jer bi se tada sve fino složilo, primenom kosinusa dvostrukog ugla bi to postalo
[dispmath]\cos\frac{\pi}{4}\left|z\right|\ge\frac{\sqrt 2}{2},\quad\left|z\right|<15[/dispmath]
pa bi se odatle dobilo
[dispmath]-\frac{\pi}{4}+2k\pi\le\frac{\pi}{4}\left|z\right|\le\frac{\pi}{4}+2k\pi,\quad\left|z\right|<15[/dispmath]
[dispmath]-1+8k\le\left|z\right|\le 1+8k,\quad\left|z\right|<15[/dispmath]
pa bi se za [inlmath]k\le -1[/inlmath] dobilo da je [inlmath]\left|z\right|\le -7[/inlmath] što je nemoguće jer moduo ne može biti negativan, tako da ne bi bilo rešenja, a za [inlmath]k\ge 2[/inlmath] bi se dobilo da je [inlmath]\left|z\right|\ge 15[/inlmath], što je protivno uslovu [inlmath]\left|z\right|<15[/inlmath], tako da bi ostali jedino slučajevi [inlmath]k=0[/inlmath] i [inlmath]k=1[/inlmath], za koje bi se dobilo:
[dispmath]k=0\quad\Rightarrow\quad -1\le\left|z\right|\le 1[/dispmath]
što bi se, zbog osobine modula da ne može biti negativan, svelo na
[dispmath]k=0\quad\Rightarrow\quad 0\le\left|z\right|\le 1[/dispmath]
i
[dispmath]k=1\quad\Rightarrow\quad 7\le\left|z\right|\le 9[/dispmath]

pa bi bilo
[dispmath]\left|z\right|\in\left[0,1\right]\cup\left[7,9\right][/dispmath]

Suviše se ovde stvari lepo složilo (i kraćenje [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath], i uslov [inlmath]\left|z\right|<15[/inlmath]) da bi uopšte postojala bilo kakva šansa da ova postavka zadatka kakvu sam ja pretpostavio nije ispravna... Ali, pokušaću sada baš da uradim prema toj postavci koju si ti dobio (zbog komplikovanosti ne tvrdim da ću i uspeti), čisto poređenja radi s ovim slučajem...:)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Skiciranje skupa točaka u kompleksnoj ravnini

Postod Daniel » Petak, 11. Januar 2013, 00:34

E da... Pre nego što pređem na tu „tvoju“ postavku, setih se da si tražio i skicu... Evo ti prvo skica koja se dobije za ovu „moju“ postavku...

moduo.png
moduo.png (2.96 KiB) Pogledano 598 puta

E, ovo tek izgleda kao nišan. :mrgreen:

Za onu postavku koju ti imaš, već imam u glavi kakav će to biti horor od skice... :sad-roulette: Veruj mi da ne želiš znati kako izgleda... :mrgreen: :twisted:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 14 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs