MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 3. jul 2003.
5. zadatak

Kompleksan broj [inlmath]z[/inlmath] ima svojstvo da je [inlmath]\text{Re }z[/inlmath] četiri puta veći od [inlmath]\text{Im }z[/inlmath]. Koliko je puta [inlmath]\text{Re}\left(z^2\right)[/inlmath] veći od [inlmath]\text{Im}\left(z^2\right)[/inlmath]?
[inlmath]A)\;1,875\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2,85\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;2,55\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;4,875\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;16[/inlmath]

Išao sam nekom (očigledno pogrešnom) logikom da stvari stoje ovako:
[dispmath]z_1=x+iy\\
z_2=x^2+iy^2[/dispmath] Pa je onda:
[dispmath]\frac{x}{y}=4\\
\frac{x^2}{y^2}=\left(\frac{x}{y}\right)^2=16[/dispmath]

Da, imaš jednu greščicu – ako je [inlmath]z=x+iy[/inlmath], tada nije [inlmath]z^2=x^2+iy^2[/inlmath], već je [inlmath]z^2=(x+iy)^2[/inlmath], pa je to dalje jednako (formula za kvadrat binoma):
[dispmath]z^2=(x+iy)^2=x^2+2xiy+(iy)^2=x^2+i2xy+i^2y^2=x^2+i2xy-y^2=\underbrace{\left(x^2-y^2\right)}_{\text{Re}\left(z^2\right)}+i\cdot\underbrace{2xy}_{\text{Im}\left(z^2\right)}\\
\Longrightarrow\quad\begin{cases}
\text{Re}\left(z^2\right)=x^2-y^2\\
\text{Im}\left(z^2\right)=2xy
\end{cases}[/dispmath]

Iz:
[dispmath]\Re\left(z^2\right)=x^2-y^2\\
\Im\left(z^2\right)=2xy[/dispmath] Deljenjem sledi:
[dispmath]\frac{\Re\left(z^2\right)}{\Im\left(z^2\right)}=\frac{x^2-y^2}{2xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\\
\frac{\Re\left(z^2\right)}{\Im\left(z^2\right)}=\frac{1}{2}\left(4-\frac{1}{4}\right)=\frac{15}{8}[/dispmath]