Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Ostatak pri deljenju polinoma – drugi probni prijemni FON 2021.

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Ostatak pri deljenju polinoma – drugi probni prijemni FON 2021.

Postod kagejama02 » Sreda, 23. Jun 2021, 15:50

Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2021.
10. zadatak


Pozdrav, radio sam jedan zadatak koji se bio ove godine (2021.) na probnom na FON-u. U pitanju je zadatak iz polinoma koji glasi:

Ako je polinom [inlmath]P(x)=\left(20x^2-x-20\right)x^{20}+ax+b[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^2+1[/inlmath], tada je ostatak koji se dobija deljenjem polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] polinomom [inlmath]x^2-1[/inlmath] jednak:
Resenje je [inlmath]40[/inlmath]

U principu ja sam dobio tacno resenje ali se sad pitam da li je to bila samo sreca ili ne?

Postupak:
[dispmath]P(x)=\left(20x^2-x-20\right)x^{20}+ax+b[/dispmath] ovde sam uvrstio jedno kompleksno resenje [inlmath](i)[/inlmath]

i za vrednosti [inlmath](a,b)[/inlmath] dobio [inlmath]a=40[/inlmath]; [inlmath]b=-1[/inlmath]

Zatim sam vratio te vrednosti nazad u polinom i stao kod dela:
[dispmath]\frac{\left(20x^2-x-20\right)x^{20}+40x-1}{x^2-1}[/dispmath] sta sam ja uradio ovde: Skontao sam da ako zamenim resenje [inlmath](-1)[/inlmath] u polinom, to sto dobijem mogu da izjednacim sa nulom, naravno tu ne dobijam nikakva resenja nego samo neki ostatak.

Konkretno [inlmath]40=0[/inlmath], sto znaci da je to visak i samim tim resenje zadatka tj ostatak.

Moje pitanje je da li je ovo slucajnost ili se ovo ovako radi, ako ne kako se deli onda ovo gore?

Hvala celom forumu btw svi su odgovorni, pozz :D
起死回生 - “Wake from death and return to life”
Korisnikov avatar
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ostatak pri deljenju polinoma – drugi probni prijemni FON 2021.

Postod Acim » Sreda, 23. Jun 2021, 16:34

Ubacivanjem [inlmath]P(i)[/inlmath] dobijamo;
[dispmath]-20-i-20+ai+b=0\\
ai+b-40-i=0[/dispmath] Odavde izdvajanjem imaginarnog i realnog dela dobijamo da je [inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]b=40[/inlmath]. Sada, vrati te vrednosti za [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] koje si dobio u početni polinom;
[dispmath]P\left(x\right)=\left(20x^2-x-20\right)x^{20}+x+40[/dispmath] Na kraju, kako delimo polinomom drugog stepena, ostatak će biti prvog stepena, tj. [inlmath]ax+b[/inlmath]. Iz [inlmath]x^2-1[/inlmath] imamo vrednosti [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] i one treba da budu jednake ostatku;
[dispmath]P\left(1\right)=R\left(1\right)=20-1-20+1+40=a+b\\
P\left(-1\right)=R\left(-1\right)=20+1-20-1+40=-a+b[/dispmath] Rešavanjem ovog sistema dobijamo da je vrednost [inlmath]a=0[/inlmath], a [inlmath]b=40[/inlmath].
[dispmath]R\left(x\right)=40[/dispmath]
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 225
Zahvalio se: 124 puta
Pohvaljen: 52 puta

Re: Ostatak pri deljenju polinoma – drugi probni prijemni FON 2021.

Postod kagejama02 » Sreda, 23. Jun 2021, 16:41

Uocio sam odmah gresku u svom postupku, hvala ti puno, sad mi je jasno :D
起死回生 - “Wake from death and return to life”
Korisnikov avatar
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Ostatak pri deljenju polinoma – drugi probni prijemni FON 2021.

Postod Daniel » Sreda, 23. Jun 2021, 19:09

kagejama02 je napisao:[dispmath]P(x)=\left(20x^2-x-20\right)x^{20}+ax+b[/dispmath] ovde sam uvrstio jedno kompleksno resenje [inlmath](i)[/inlmath]

i za vrednosti [inlmath](a,b)[/inlmath] dobio [inlmath]a=40[/inlmath]; [inlmath]b=-1[/inlmath]

Negde imaš grešku, treba da se dobije [inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]b=40[/inlmath], kao što je Acim i napisao.

kagejama02 je napisao:Skontao sam da ako zamenim resenje [inlmath](-1)[/inlmath] u polinom, to sto dobijem mogu da izjednacim sa nulom,

Zašto izjednačavanje s nulom? S nulom bi trebalo izjednačiti kad bi [inlmath]P(x)[/inlmath] bio deljiv sa [inlmath]x^2-1[/inlmath] (jer bi tada ostatak bio nula), ali ovde to nije slučaj.

kagejama02 je napisao:Konkretno [inlmath]40=0[/inlmath],

Već kad imaš ovakvu jednakost (za koju se iz aviona vidi da ne može biti tačna), :) očigledno je da je postupak pogrešan.

Acim je napisao:imamo vrednosti [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] i one treba da budu jednake ostatku;
[dispmath]P\left(1\right)=R\left(1\right)=20-1-20+1+40=a+b\\
P\left(-1\right)=R\left(-1\right)=20+1-20-1+40=-a+b[/dispmath]

Čisto da se neko ne zbuni :) – ne treba vrednosti [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] da budu jednake ostatku, već treba da bude [inlmath]P(-1)=R(-1)[/inlmath] i [inlmath]P(1)=R(1)[/inlmath] (kako si, uostalom, u nastavku i napisao).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8826
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4882 puta
Pohvaljen: 4724 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 22. Oktobar 2021, 09:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs