Prijemni ispit MATF – 29. jun 2016.
8. zadatak

Ako su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] realni brojevi takvi da polinom [inlmath]x^4+ax^3-ax+b[/inlmath] daje ostatak [inlmath]2x+4[/inlmath] pri deljenju polinomom [inlmath]x^2+2x+1[/inlmath], tada je [inlmath]ab[/inlmath] jednako:
[inlmath]A)\;1\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;3\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;4\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;5[/inlmath]
Tačan odgovor je [inlmath]3[/inlmath].

S obzirom da je [inlmath]P_1=P_2\cdot P_3+2x+4[/inlmath], našao sam nulu polinoma [inlmath]x^2+2x+1[/inlmath], [inlmath]x_1=x_2=-1[/inlmath], i ubacio je u prvi polinom da bih dobio [inlmath]A=2x+4[/inlmath].
[dispmath]A=(-1)^4+a(-1)^3-a(-1)+b=2(-1)+4\\
A=1-a+a+b=4-2\\
b=1[/dispmath] Problem je [inlmath]a[/inlmath].
Prva pomisao mi je bila da [inlmath]a[/inlmath] može imati bilo koju vrednost jer se skrati ([inlmath]a-a[/inlmath]), ali to nije tačno. Tako da mi preostaje jedino da isprobavam svaku vrednost od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]5[/inlmath] i dođem do rešenja bruteforce metodom.
Kako naći [inlmath]a[/inlmath]?
Hvala

Pošto je polazni polinom relativno niskog (četvrtog) stepena, mislim da bi najsvrsishodnije bilo da podeliš polazni polinom (deljenik) ovim polinomom koji je zadat kao delilac. I onda samo ostatak izjednačiš sa ovim što se traži u zadatku.

Postoji i drugi način, koji „radi“ i kod polinoma viših stepena. Pošto je [inlmath]x=-1[/inlmath] nula drugog reda, treba naći prvi izvod od [inlmath]P(x)=x^4+ax^3-ax+b[/inlmath]. Naime, kako imamo
[dispmath]P(x)=G(x)Q(x)+R(x)[/dispmath] gde je
[inlmath]P(x)[/inlmath] – polinom deljenik;
[inlmath]Q(x)[/inlmath] – polinom delilac;
[inlmath]G(x)[/inlmath] – polinom koji predstavlja količnik;
[inlmath]R(x)[/inlmath] – polinom koji predstavlja ostatak pri deljenju (uvek je manjeg stepena od [inlmath]Q(x)[/inlmath]),
to ćemo nalaženjem izvoda obe strane dobiti
[dispmath]P'(x)=G'(x)Q(x)+G(x)Q'(x)+R'(x)\\
P'(x)=G'(x)(x+1)^2+G(x)\left((x+1)^2\right)'+R'(x)\\
P'(x)=G'(x)(x+1)^2+2G(x)(x+1)+R'(x)\\
P'(x)=\bigl(G'(x)(x+1)+2G(x)\bigr)(x+1)+R'(x)[/dispmath] odakle vidimo da ćemo uvrštavanjem [inlmath]x=-1[/inlmath] dobiti
[dispmath]P'(x)=R'(x)[/dispmath] i to će biti druga jednačina sistema, iz koje možemo odrediti [inlmath]a[/inlmath].

Princip je taj da, kad je nula polinoma delioca [inlmath]n[/inlmath]-tog reda, tada tražimo sve izvode do [inlmath](n-1)[/inlmath]-og.
S tim u vezi, preporučujem ovu i ovu temu.