Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Deljenje polinoma – prijemni FON septembar 2013.

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Deljenje polinoma – prijemni FON septembar 2013.

Postod buca » Subota, 29. Maj 2021, 13:10

Prijemni ispit FON – 5. septembar 2013.
15. zadatak


Ako polinom [inlmath]P\left(x\right)=x^4-x^3+ax^2+bx+c[/inlmath] pri deljenju sa polinomom [inlmath]Q\left(x\right)=x^3+2x^2+3x+1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]R\left(x\right)=3x^2-2x+1[/inlmath], onda je vrednost [inlmath]\left(a+b\right)\cdot c[/inlmath] jednaka: [inlmath]20[/inlmath].

Kako se radi ovakav zadatak? Ne znam kako poceti.
buca  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Deljenje polinoma – prijemni FON septembar 2013.

Postod Acim » Subota, 29. Maj 2021, 13:25

Neka je polinom [inlmath]P\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot S\left(x\right)+R\left(x\right)[/inlmath]
Kako delimo polinomom trećeg stepena, ostatak će biti polinom prvog stepena, npr oblik [inlmath]\left(x+P\right)[/inlmath]. Da ne bude zabune, možeš ti to da obeležiš i sa Ž, Š, kako god, ali je bitno da uzmeš bilo koji znak a da nije u okviru [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] odakle dobijamo;
[dispmath]x^4-x^3+ax^2+bx+c=x^4+\left(2+p\right)x^3+\left(6+2p\right)x^2+\left(3p-1\right)x+p+1[/dispmath] Sad, izmnožiš to i grupišeš članove shodno njihovim stepenima;
[inlmath]2+p=-1[/inlmath] i [inlmath]6+2p=a[/inlmath] i [inlmath]3p-1=b[/inlmath] i [inlmath]c=p+1[/inlmath]
Odatle samo dobiješ tražene koeficijente a i rešenje.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Deljenje polinoma – prijemni FON septembar 2013.

Postod Daniel » Utorak, 01. Jun 2021, 17:49

Acim je napisao:Kako delimo polinomom trećeg stepena, ostatak će biti polinom prvog stepena, npr oblik [inlmath]\left(x+P\right)[/inlmath].

Verovatno si hteo reći, količnik će biti prvog stepena (ostatak je drugog stepena, kao što je i zadato u tekstu zadatka). U opštem slučaju, kada je polinom deljenik ([inlmath]P(x)[/inlmath]) [inlmath]m[/inlmath]-tog stepena a polinom delilac ([inlmath]Q(x)[/inlmath]) [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena, tada je njihov količnik polinom [inlmath](m-n).[/inlmath] stepena, dok je ostatak polinom čiji je stepen manji od stepena polinoma delioca (i zaista – u ovom zadatku polinom delilac [inlmath]Q(x)[/inlmath] je trećeg stepena, dok je ostatak [inlmath]R(x)[/inlmath] drugog stepena).

Prema tome, polinom prvog stepena ovde će biti ne ostatak, već količnik. U opštem slučaju polinom prvog stepena je oblika [inlmath]ax+b[/inlmath] (koeficijent uz [inlmath]x[/inlmath] ne mora biti jedinica), ali pošto ovde i polinom deljenik i polinom delilac imaju jedinicu uz član najvišeg stepena, jasno je da će to biti slučaj i s količnikom, tako da za količnik, koji je prvog stepena, možemo pisati [inlmath]x+p[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9309
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5157 puta
Pohvaljen: 4952 puta

Re: Deljenje polinoma – prijemni FON septembar 2013.

Postod Acim » Utorak, 01. Jun 2021, 18:01

Hvala na korekciji. Nisam baš najbolje objasnio ali bitno je da sam suštinu pogodio :)
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Deljenje polinoma – prijemni FON septembar 2013.

Postod JovanR » Četvrtak, 27. April 2023, 15:10

Meni ovo objašnjenje uopšte nije jasno. Ako nije problem da se objasni na neki drugačiji način?

Ja sam pokušao da nađem rešenje za [inlmath]Q(x)[/inlmath] tako što sam ubacivao brojeve međutim nisam uspeo ništa. Takođe sam probao da podelim [inlmath]P(x)[/inlmath] i [inlmath]Q(x)[/inlmath] međutim dobio sam neku smesu brojeva u ostatku i ne znam šta da radim sa time, a kao rešenje jer treba da bude prvi stepen sam dobio [inlmath]x-3[/inlmath] međutim ne dobijem ništa korisno ako to uvrstim u [inlmath]P(x)[/inlmath].

Kako onda doći do rešenja jer ovaj zadatak ne koristi tradicionalnu metodu rešavanja.
Poslednji put menjao Daniel dana Četvrtak, 27. April 2023, 23:25, izmenjena samo jedanput
Razlog: Uklanjanje suvišnog citata – tačka 15 Pravilnika
JovanR  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Deljenje polinoma – prijemni FON septembar 2013.

Postod Daniel » Četvrtak, 27. April 2023, 23:25

Zamolio bih te, pre svega, da ne citiraš cele postove bez potrebe, time se dosta narušava preglednost.

Evo detaljnije kako je Acim radio. Krenuo je, dakle, od formule [inlmath]P(x)=Q(x)S(x)+R(x)[/inlmath], gde je
[inlmath]P(x)[/inlmath] – polinom deljenik (u našem slučaju [inlmath]P(x)=x^4-x^3+ax^2+bx+c[/inlmath];
[inlmath]Q(x)[/inlmath] – polinom delilac (u našem slučaju [inlmath]Q(x)=x^3+2x^2+3x+1[/inlmath];
[inlmath]S(x)[/inlmath] – količnik (mora biti prvog stepena, jer razlika stepena deljenika i delioca iznosi [inlmath]1[/inlmath]; prema tome, [inlmath]S(x)[/inlmath] je oblika [inlmath]x+p[/inlmath] (u prethodnom postu sam objasnio zašto je koeficijent uz [inlmath]x[/inlmath] u našem slučaju jednak [inlmath]1[/inlmath]);
[inlmath]R(x)[/inlmath] – ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] i [inlmath]Q(x)[/inlmath]; njegov stepen mora biti manji od stepena delioca; u našem slučaju [inlmath]R(x)=3x^2-2x+1[/inlmath].

E, kada se sve ovo uvrsti u [inlmath]P(x)=Q(x)S(x)+R(x)[/inlmath], dobije se
[dispmath]x^4-x^3+ax^2+bx+c=\left(x^3+2x^2+3x+1\right)(x+p)+\left(3x^2-2x+1\right)[/dispmath] Nakon sređivanja desne strane, dobije se ono što je Acim napisao,
[dispmath]x^4-x^3+ax^2+bx+c=x^4+(p+2)x^3+(2p+6)x^2+(3p-1)x+(p+1)[/dispmath] Nakon toga izjednačavamo odgovarajuće koeficijente na levoj i na desnoj strani:
Koeficijent uz [inlmath]x^3[/inlmath] na levoj strani iznosi [inlmath]-1[/inlmath] a na desnoj iznosi [inlmath]p+2[/inlmath], te pišemo [inlmath]1=p+2[/inlmath] (odatle već možemo naći [inlmath]p[/inlmath]);
Koeficijent uz [inlmath]x^2[/inlmath] na levoj strani iznosi [inlmath]a[/inlmath] a na desnoj iznosi [inlmath]2p+6[/inlmath], te pišemo [inlmath]a=2p+6[/inlmath] (a pošto smo pretnodno izračunali [inlmath]p[/inlmath], odavde izračunavamo [inlmath]a[/inlmath]);
Isto to uradimo i za koeficijente uz linearne članove (odatle nađemo [inlmath]b[/inlmath]), kao i za slobodne članove (odatle nađemo [inlmath]c[/inlmath]).

JovanR je napisao:Takođe sam probao da podelim [inlmath]P(x)[/inlmath] i [inlmath]Q(x)[/inlmath] međutim dobio sam neku smesu brojeva u ostatku i ne znam šta da radim sa time

Može i tako da se radi. Ako si ispravno odradio deljenje, kao tu „smesu brojeva u ostatku“ trebalo je da dobiješ [inlmath](a+3)x^2+(b+8)x+(c+3)[/inlmath]. I onda isto kao što malopre pokazah, to izjednačiš sa zadatim ostatkom [inlmath]3x^2-2x+1[/inlmath] – tako što izjednačiš koeficijente uz kvadratne članove, [inlmath]a+3=3[/inlmath], zatim koeficijente uz linearne članove, [inlmath]b+8=-2[/inlmath], i na kraju slobodne članove, [inlmath]c+3=1[/inlmath]. Sve to ti je dovoljno da bi odredio [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. Količnik ne moraš ni da gledaš.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9309
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5157 puta
Pohvaljen: 4952 puta

Re: Deljenje polinoma – prijemni FON septembar 2013.

Postod JovanR » Petak, 28. April 2023, 14:01

Sad mi je mnogo jasnije, hvala na objašnjenju.
JovanR  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 25. Maj 2024, 21:33 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs