Deljenje polinoma

PostPoslato: Nedelja, 21. Jun 2015, 12:23
od markisha
Neka je P(x) = axna2014 + bxna2015 + 1 i Q(x) = xna kvadrat + 2x + 1; a, b ∈ R. Ako je polinom P deƩiv polinomom
Q, tada je:
Resenje zadatka je
anakvadrat - bnakvadrat=4029
Ovo su jako učestali zadaci na prijemnim ispitima a ja stvarno nemam ideju kako ih rešiti pa ako znate nešto pomažite :)
Hvala unapred.

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Nedelja, 21. Jun 2015, 12:41
od kostur
P(x) = axna2014 + bxna2015 + 1 i Q(x) = xna kvadrat + 2x + 1

:crazy:
[dispmath]P(x)=a\cdot x^{2014}+b\cdot x^{2015}+1=Q(x)\cdot L(x)+R[/dispmath]
[inlmath]R[/inlmath] je ostatak pri deljenju polinoma. Ako je neki polinom deljiv nekim polinomom nece davati ostatak, odnosno ostatak ce mu biti jednak nuli.
[inlmath]Q(x)=x^2+2x+1[/inlmath] je isto sto i [inlmath]Q(x)=(x+1)^2[/inlmath] sto znaci da mu je jedna nula jednaka [inlmath]-1[/inlmath].
Kada podelis dva polinoma dobices treci polinom, i u slucaju da nema ostatka mozemo se sloziti da je:
[dispmath]P(x):Q(x)=L(x)[/dispmath]
odnosno
[dispmath]P(x)=Q(x)\cdot L(x)[/dispmath]
Ako je nula polinoma jednaka [inlmath]-1[/inlmath] kada zamenis
[dispmath]P(-1)=a\cdot(-1)^{2014}+b\cdot(-1)^{2015}+1=0[/dispmath]
odnosno da je
[dispmath]a-b=-1[/dispmath]
Dalje nisam razumeo sta si pitao. :think1:

EDIT: Mozda nisi skapirao/la zasto sam pomenuo da je [inlmath]Q(x)\cdot L(x)=P(x)[/inlmath] - kada zamenis za [inlmath]Q(-1)[/inlmath] dobices da je [inlmath]Q(-1)=0[/inlmath] sto kad se pomnozi sa bilo cim (u ovom slucaju [inlmath]L(-1)[/inlmath]) dobijas nulu, te je ceo polinom jednak nuli.

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Nedelja, 21. Jun 2015, 12:50
od Daniel
@markisha
Molim te, nemoj pisati „axna2014 + bxna2015 + 1“. Koristi Latex, kako je tačkom 13. Pravilnika i predviđeno.
Pošto si već dobio odgovor, ovaj put temu neću uklanjati, ali vodi o tome računa u budućim postovima.

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Nedelja, 21. Jun 2015, 12:51
od markisha
Izvinjavam se stvarno nisam znao u buduće ću poštovati to pravilo

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Nedelja, 21. Jun 2015, 13:19
od Sinisa
Mene buni to rjesenje [inlmath]a^2-b^2=4029[/inlmath]

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Nedelja, 21. Jun 2015, 13:30
od kostur
Upravo i mene. Nije mi verovatno da su napravili gresku, a opet nema dovoljno podataka :think1:

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Nedelja, 21. Jun 2015, 13:50
od Daniel
Ima dovoljno podataka. [inlmath]x=-1[/inlmath] je u ovom slučaju dvostruka nula polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath].

Nula [inlmath]n[/inlmath]-tog reda nekog polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] istovremeno je i nula od prvog do [inlmath]\left(n-1\right).[/inlmath] izvoda tog polinoma – [inlmath]P\left(x\right),P'\left(x\right),P''\left(x\right),\ldots,P^{\left(n-1\right)}\left(x\right)[/inlmath].

Znači, pošto ovde imamo dvostruku nulu, to treba da bude nula i polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], kao i njegovog prvog izvoda, [inlmath]P'\left(x\right)[/inlmath]. Time se dobije sistem od dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Nedelja, 21. Jun 2015, 14:20
od bobanex
[dispmath]P(x)=ax^{2014}+bx^{2015}+1=(x+1)^2\cdot L(x)\\
P'\left(x\right)=\left(\left(x+1\right)^2\cdot L(x)\right)^\prime=\left(\left(x+1\right)^2\right)^\prime L\left(x\right)+\left(x+1\right)^2L\left(x\right)^\prime=\\
=2\left(x+1\right)L\left(x\right)+\left(x+1\right)^2L\left(x\right)^\prime=\left(x+1\right)\left(2L\left(x\right)+\left(x+1\right)L\left(x\right)^\prime\right)[/dispmath]

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Nedelja, 21. Jun 2015, 14:56
od Daniel
Ako nekom nije najjasnije ovo što je bobanex uradio – napisao je dokaz da je dvostruka nula polinoma ujedno i nula prvog izvoda tog polinoma.

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Nedelja, 21. Jun 2015, 15:50
od Ilija
I mene je bunilo ovo resenje.
Daniel je napisao:Nula [inlmath]n[/inlmath]-tog reda nekog polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] istovremeno je i nula od prvog do [inlmath]\left(n-1\right).[/inlmath] izvoda tog polinoma – [inlmath]P\left(x\right),P'\left(x\right),P''\left(x\right),\ldots,P^{\left(n-1\right)}\left(x\right)[/inlmath].

Mi ovo nismo pominjali na redovnim casovima matematike, tako da mi to ne bi palo na pamet. Tako da, eto dobro dodje, pogotovo sad pred prijemni.

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Nedelja, 21. Jun 2015, 19:48
od Daniel
Koga zanima opštiji dokaz, tj. dokaz za [inlmath]n[/inlmath]-tostruku nulu, može pogledati ovu temu.



Radio sam i na jedan drugačiji način, čisto iz radoznalosti, da vidim može li se i bez poznavanja tog štosa s izvodima. Može, na dosta komplikovaniji način. Pa, kad sam već uradio, što da ne objavim? :)

Pošto smo, izjednačavajući [inlmath]P\left(-1\right)[/inlmath] s nulom, već utvrdili da je [inlmath]a=b-1[/inlmath], uvrstimo to u [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath]:
[dispmath]P\left(x\right)=\left(b-1\right)x^{2014}+bx^{2015}+1\\
P\left(x\right)=bx^{2015}+bx^{2014}-x^{2014}+1\\
P\left(x\right)=bx^{2015}+bx^{2014}-x^{2014}+1\\
P\left(x\right)=b\left(x+1\right)x^{2014}-x^{2014}+1[/dispmath]
Pošto je polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]\left(x+1\right)^2[/inlmath], to znači da polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] možemo dva puta podeliti sa [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath] i prilikom oba deljenja dobiti ostatak jednak nuli:
[dispmath]P\left(x\right)=b\left(x+1\right)x^{2014}-x^{2014}\underbrace{-x^{2013}+x^{2013}}_0\:\underbrace{+x^{2012}-x^{2012}}_0-\cdots\underbrace{-x^3+x^3}_0\:\underbrace{+x^2-x^2}_0\:\underbrace{-x+x}_0+1=[/dispmath][dispmath]=b\left(x+1\right)x^{2014}-\left(x^{2014}+x^{2013}\right)+\left(x^{2013}+x^{2012}\right)-\cdots+\left(x^3+x^2\right)-\left(x^2+x\right)+\left(x+1\right)=[/dispmath][dispmath]=b\left(x+1\right)x^{2014}-\left(x+1\right)x^{2013}+\left(x+1\right)x^{2012}-\cdots+\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)x+\left(x+1\right)=[/dispmath][dispmath]=\left(x+1\right)\left(bx^{2014}-x^{2013}+x^{2012}-\cdots+x^2-x+1\right)[/dispmath]
Sada kad je polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] sveden na ovaj oblik, sasvim ga je jednostavno podeliti sa [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{P\left(x\right)}{x+1}=bx^{2014}-x^{2013}+x^{2012}-\cdots+x^2-x+1[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x=-1[/inlmath] nula drugog reda, to znači da će [inlmath]x=-1[/inlmath] takođe biti nula i ovako dobijenog polinoma:
[dispmath]b\left(-1\right)^{2014}-\left(-1\right)^{2013}+\left(-1\right)^{2012}-\cdots+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1=0[/dispmath][dispmath]b+\underbrace{1+1+1+\cdots+1+1+1+1}_{2014}=0[/dispmath][dispmath]b=-2014[/dispmath][dispmath]a=b-1\quad\Rightarrow\quad a=-2015[/dispmath]
Eto... Ipak je mnogo jednostavnije preko izvoda. :)

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Četvrtak, 25. Jun 2015, 03:09
od Lemi
Ja nisam razumeo zašto se radi preko izvoda, pa ako ima neko strpljiv da mi objasni. Razumem kako se izračunava izvod ali ne i čemu on služi odnosno šta je on u odnosu na funkciju. Takođe, pokušao sam da rešim sličan primer (sa jednom nulom) kao primer koji je autor posta stavio, ali mi se rešenja ne poklapaju kada polinome normalno delim i kada radim preko izvoda. Hvala :)

Polinom [inlmath]P(x)=x^5+ax^3+bx[/inlmath] je deljiv polinomom [inlmath]Q(x)=x^2+2x+1[/inlmath] . Tada je [inlmath]a^2+b^2[/inlmath]

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Četvrtak, 25. Jun 2015, 06:31
od Daniel
Lemi je napisao:Ja nisam razumeo zašto se radi preko izvoda, pa ako ima neko strpljiv da mi objasni.

Pa evo, linkovao sam u prethodnom postu na ovu temu, ne znam da l' si video. Tamo sam računski pokazao zbog čega u slučaju nula višeg reda tražimo izvode polinoma.
Ako imaš još neka pitanja u vezi s tim, molim te da ih postaviš u toj temi, kako bismo sve o izvodima polinoma imali na jednom mestu.

Lemi je napisao:Razumem kako se izračunava izvod ali ne i čemu on služi odnosno šta je on u odnosu na funkciju.

Ako te zanima smisao izvoda uopšte, ne samo u odnosu na polinome već i inače u odnosu na funkcije, bilo je o tome reči u ovoj temi. Takođe, tamo se možeš nadovezati pitanjima ako ti nešto oko toga nije jasno.

Lemi je napisao:Takođe, pokušao sam da rešim sličnan primer (sa jednom nulom) kao primer koji je autor posta stavio, ali mi se rešenja ne poklapaju kada polinome normalno delim i kada radim preko izvoda. Hvala :)

Polinom [inlmath]P(x)=x^5+ax^3+bx[/inlmath] je deljiv polinomom [inlmath]Q(x)=x^2+2x+1[/inlmath] . Tada je [inlmath]a^2+b^2[/inlmath]

Ja sam radio na oba načina i poklapaju mi se (kao što i inače moraju da se poklapaju). Treba da se dobije [inlmath]a=-2[/inlmath] i [inlmath]b=1[/inlmath]. Proveri koji ti od ta dva postupka ne daje ispravna rešenja, pokušaj da nađeš grešku, a ako ne uspeš, napiši ovde kako si radio pa ćemo ti pomoći da pronađeš gde je „kiks“. :)

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Sreda, 01. Jul 2015, 13:43
od JohnLocke
Neka je
[dispmath]P(x)=x^4+ax^2+bx+24[/dispmath]
deljiv polinomom
[dispmath]x^2+4x+4[/dispmath]
onda je
[dispmath]b^2-a^2[/dispmath]
?

Re: Deljenje polinoma

PostPoslato: Četvrtak, 02. Jul 2015, 01:20
od Daniel
Ovako postavljene zadatke obično uklanjam, ali, budući da si se ipak potrudio oko Latexa, ostaviću ovaj post, s tim da, ako želiš da dobiješ odgovor, potrebno je da pitanje dopuniš u skladu s tačkom 6. Pravilnika.
Pitanja se ovako ne postavljaju – moraš precizirati šta ti tačno, pri rešavanju ovog zadatka, predstavlja problem, tim pre što smo na ovom forumu već imali gomilu vrlo sličnih, a rešenih, zadataka.

I, novi zadatak uvek u novu temu (tačka 10. Pravilnika).

Inače, u pitanju je 7. zadatak s drugog probnog prijemnog ispita na FON-u, održanog 25.6.2015.