Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Deljenje polinoma

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Re: Deljenje polinoma

Postod Daniel » Nedelja, 21. Jun 2015, 20:48

Koga zanima opštiji dokaz, tj. dokaz za [inlmath]n[/inlmath]-tostruku nulu, može pogledati ovu temu.



Radio sam i na jedan drugačiji način, čisto iz radoznalosti, da vidim može li se i bez poznavanja tog štosa s izvodima. Može, na dosta komplikovaniji način. Pa, kad sam već uradio, što da ne objavim? :)

Pošto smo, izjednačavajući [inlmath]P\left(-1\right)[/inlmath] s nulom, već utvrdili da je [inlmath]a=b-1[/inlmath], uvrstimo to u [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath]:
[dispmath]P\left(x\right)=\left(b-1\right)x^{2014}+bx^{2015}+1\\
P\left(x\right)=bx^{2015}+bx^{2014}-x^{2014}+1\\
P\left(x\right)=bx^{2015}+bx^{2014}-x^{2014}+1\\
P\left(x\right)=b\left(x+1\right)x^{2014}-x^{2014}+1[/dispmath]
Pošto je polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]\left(x+1\right)^2[/inlmath], to znači da polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] možemo dva puta podeliti sa [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath] i prilikom oba deljenja dobiti ostatak jednak nuli:
[dispmath]P\left(x\right)=b\left(x+1\right)x^{2014}-x^{2014}\underbrace{-x^{2013}+x^{2013}}_0\:\underbrace{+x^{2012}-x^{2012}}_0-\cdots\underbrace{-x^3+x^3}_0\:\underbrace{+x^2-x^2}_0\:\underbrace{-x+x}_0+1=[/dispmath][dispmath]=b\left(x+1\right)x^{2014}-\left(x^{2014}+x^{2013}\right)+\left(x^{2013}+x^{2012}\right)-\cdots+\left(x^3+x^2\right)-\left(x^2+x\right)+\left(x+1\right)=[/dispmath][dispmath]=b\left(x+1\right)x^{2014}-\left(x+1\right)x^{2013}+\left(x+1\right)x^{2012}-\cdots+\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)x+\left(x+1\right)=[/dispmath][dispmath]=\left(x+1\right)\left(bx^{2014}-x^{2013}+x^{2012}-\cdots+x^2-x+1\right)[/dispmath]
Sada kad je polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] sveden na ovaj oblik, sasvim ga je jednostavno podeliti sa [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{P\left(x\right)}{x+1}=bx^{2014}-x^{2013}+x^{2012}-\cdots+x^2-x+1[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x=-1[/inlmath] nula drugog reda, to znači da će [inlmath]x=-1[/inlmath] takođe biti nula i ovako dobijenog polinoma:
[dispmath]b\left(-1\right)^{2014}-\left(-1\right)^{2013}+\left(-1\right)^{2012}-\cdots+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1=0[/dispmath][dispmath]b+\underbrace{1+1+1+\cdots+1+1+1+1}_{2014}=0[/dispmath][dispmath]b=-2014[/dispmath][dispmath]a=b-1\quad\Rightarrow\quad a=-2015[/dispmath]
Eto... Ipak je mnogo jednostavnije preko izvoda. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5015 puta
Pohvaljen: 4854 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Deljenje polinoma

Postod Lemi » Četvrtak, 25. Jun 2015, 04:09

Ja nisam razumeo zašto se radi preko izvoda, pa ako ima neko strpljiv da mi objasni. Razumem kako se izračunava izvod ali ne i čemu on služi odnosno šta je on u odnosu na funkciju. Takođe, pokušao sam da rešim sličan primer (sa jednom nulom) kao primer koji je autor posta stavio, ali mi se rešenja ne poklapaju kada polinome normalno delim i kada radim preko izvoda. Hvala :)

Polinom [inlmath]P(x)=x^5+ax^3+bx[/inlmath] je deljiv polinomom [inlmath]Q(x)=x^2+2x+1[/inlmath] . Tada je [inlmath]a^2+b^2[/inlmath]
Poslednji put menjao desideri dana Četvrtak, 02. Jul 2015, 13:35, izmenjena samo jedanput
Razlog: Ispravka slovne greške u kucanju.
Lemi  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Deljenje polinoma

Postod Daniel » Četvrtak, 25. Jun 2015, 07:31

Lemi je napisao:Ja nisam razumeo zašto se radi preko izvoda, pa ako ima neko strpljiv da mi objasni.

Pa evo, linkovao sam u prethodnom postu na ovu temu, ne znam da l' si video. Tamo sam računski pokazao zbog čega u slučaju nula višeg reda tražimo izvode polinoma.
Ako imaš još neka pitanja u vezi s tim, molim te da ih postaviš u toj temi, kako bismo sve o izvodima polinoma imali na jednom mestu.

Lemi je napisao:Razumem kako se izračunava izvod ali ne i čemu on služi odnosno šta je on u odnosu na funkciju.

Ako te zanima smisao izvoda uopšte, ne samo u odnosu na polinome već i inače u odnosu na funkcije, bilo je o tome reči u ovoj temi. Takođe, tamo se možeš nadovezati pitanjima ako ti nešto oko toga nije jasno.

Lemi je napisao:Takođe, pokušao sam da rešim sličnan primer (sa jednom nulom) kao primer koji je autor posta stavio, ali mi se rešenja ne poklapaju kada polinome normalno delim i kada radim preko izvoda. Hvala :)

Polinom [inlmath]P(x)=x^5+ax^3+bx[/inlmath] je deljiv polinomom [inlmath]Q(x)=x^2+2x+1[/inlmath] . Tada je [inlmath]a^2+b^2[/inlmath]

Ja sam radio na oba načina i poklapaju mi se (kao što i inače moraju da se poklapaju). Treba da se dobije [inlmath]a=-2[/inlmath] i [inlmath]b=1[/inlmath]. Proveri koji ti od ta dva postupka ne daje ispravna rešenja, pokušaj da nađeš grešku, a ako ne uspeš, napiši ovde kako si radio pa ćemo ti pomoći da pronađeš gde je „kiks“. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5015 puta
Pohvaljen: 4854 puta

Re: Deljenje polinoma

Postod JohnLocke » Sreda, 01. Jul 2015, 14:43

Neka je
[dispmath]P(x)=x^4+ax^2+bx+24[/dispmath]
deljiv polinomom
[dispmath]x^2+4x+4[/dispmath]
onda je
[dispmath]b^2-a^2[/dispmath]
?
 
Postovi: 90
Zahvalio se: 63 puta
Pohvaljen: 12 puta

Re: Deljenje polinoma

Postod Daniel » Četvrtak, 02. Jul 2015, 02:20

Ovako postavljene zadatke obično uklanjam, ali, budući da si se ipak potrudio oko Latexa, ostaviću ovaj post, s tim da, ako želiš da dobiješ odgovor, potrebno je da pitanje dopuniš u skladu s tačkom 6. Pravilnika.
Pitanja se ovako ne postavljaju – moraš precizirati šta ti tačno, pri rešavanju ovog zadatka, predstavlja problem, tim pre što smo na ovom forumu već imali gomilu vrlo sličnih, a rešenih, zadataka.

I, novi zadatak uvek u novu temu (tačka 10. Pravilnika).

Inače, u pitanju je 7. zadatak s drugog probnog prijemnog ispita na FON-u, održanog 25.6.2015.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5015 puta
Pohvaljen: 4854 puta

Prethodna

Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 7 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 28. Jun 2022, 21:17 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs