MATEMANIJA

Neka je P(x) = axna2014 + bxna2015 + 1 i Q(x) = xna kvadrat + 2x + 1; a, b ∈ R. Ako je polinom P deƩiv polinomom
Q, tada je:
Resenje zadatka je
anakvadrat - bnakvadrat=4029
Ovo su jako učestali zadaci na prijemnim ispitima a ja stvarno nemam ideju kako ih rešiti pa ako znate nešto pomažite
Hvala unapred.

P(x) = axna2014 + bxna2015 + 1 i Q(x) = xna kvadrat + 2x + 1


[dispmath]P(x)=a\cdot x^{2014}+b\cdot x^{2015}+1=Q(x)\cdot L(x)+R[/dispmath]
[inlmath]R[/inlmath] je ostatak pri deljenju polinoma. Ako je neki polinom deljiv nekim polinomom nece davati ostatak, odnosno ostatak ce mu biti jednak nuli.
[inlmath]Q(x)=x^2+2x+1[/inlmath] je isto sto i [inlmath]Q(x)=(x+1)^2[/inlmath] sto znaci da mu je jedna nula jednaka [inlmath]-1[/inlmath].
Kada podelis dva polinoma dobices treci polinom, i u slucaju da nema ostatka mozemo se sloziti da je:
[dispmath]P(x):Q(x)=L(x)[/dispmath]
odnosno
[dispmath]P(x)=Q(x)\cdot L(x)[/dispmath]
Ako je nula polinoma jednaka [inlmath]-1[/inlmath] kada zamenis
[dispmath]P(-1)=a\cdot(-1)^{2014}+b\cdot(-1)^{2015}+1=0[/dispmath]
odnosno da je
[dispmath]a-b=-1[/dispmath]
Dalje nisam razumeo sta si pitao.

EDIT: Mozda nisi skapirao/la zasto sam pomenuo da je [inlmath]Q(x)\cdot L(x)=P(x)[/inlmath] - kada zamenis za [inlmath]Q(-1)[/inlmath] dobices da je [inlmath]Q(-1)=0[/inlmath] sto kad se pomnozi sa bilo cim (u ovom slucaju [inlmath]L(-1)[/inlmath]) dobijas nulu, te je ceo polinom jednak nuli.

@markisha
Molim te, nemoj pisati „axna2014 + bxna2015 + 1“. Koristi Latex, kako je tačkom 13. Pravilnika i predviđeno.
Pošto si već dobio odgovor, ovaj put temu neću uklanjati, ali vodi o tome računa u budućim postovima.

Izvinjavam se stvarno nisam znao u buduće ću poštovati to pravilo

Mene buni to rjesenje [inlmath]a^2-b^2=4029[/inlmath]

Upravo i mene. Nije mi verovatno da su napravili gresku, a opet nema dovoljno podataka

Ima dovoljno podataka. [inlmath]x=-1[/inlmath] je u ovom slučaju dvostruka nula polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath].

Nula [inlmath]n[/inlmath]-tog reda nekog polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] istovremeno je i nula od prvog do [inlmath]\left(n-1\right).[/inlmath] izvoda tog polinoma – [inlmath]P\left(x\right),P'\left(x\right),P''\left(x\right),\ldots,P^{\left(n-1\right)}\left(x\right)[/inlmath].

Znači, pošto ovde imamo dvostruku nulu, to treba da bude nula i polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], kao i njegovog prvog izvoda, [inlmath]P'\left(x\right)[/inlmath]. Time se dobije sistem od dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

[dispmath]P(x)=ax^{2014}+bx^{2015}+1=(x+1)^2\cdot L(x)\\
P'\left(x\right)=\left(\left(x+1\right)^2\cdot L(x)\right)^\prime=\left(\left(x+1\right)^2\right)^\prime L\left(x\right)+\left(x+1\right)^2L\left(x\right)^\prime=\\
=2\left(x+1\right)L\left(x\right)+\left(x+1\right)^2L\left(x\right)^\prime=\left(x+1\right)\left(2L\left(x\right)+\left(x+1\right)L\left(x\right)^\prime\right)[/dispmath]

Ako nekom nije najjasnije ovo što je bobanex uradio – napisao je dokaz da je dvostruka nula polinoma ujedno i nula prvog izvoda tog polinoma.

I mene je bunilo ovo resenje.

Daniel je napisao:Nula [inlmath]n[/inlmath]-tog reda nekog polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] istovremeno je i nula od prvog do [inlmath]\left(n-1\right).[/inlmath] izvoda tog polinoma – [inlmath]P\left(x\right),P'\left(x\right),P''\left(x\right),\ldots,P^{\left(n-1\right)}\left(x\right)[/inlmath].

Mi ovo nismo pominjali na redovnim casovima matematike, tako da mi to ne bi palo na pamet. Tako da, eto dobro dodje, pogotovo sad pred prijemni.