MATEMANIJA

Zdravo svima. Pokusavo sam da uradim ovaj zadatak faktorizacijom medutim to nikako nije islo. Posto nemam puno iskustva sa ovim zadacima odlucio sam da pitam Vas. Zadatak glasi: Dokazati da je polinom [inlmath](a+b+c)^{333}-a^{333}-b^{333}-c^{333}[/inlmath] djeljiv sa [inlmath](a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3[/inlmath]. LP

Hej, hej

Prvo uočimo da je [inlmath](a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)\cdot(a+c)\cdot(b+c)[/inlmath], odakle zaključujemo da je [inlmath](a+b+c)^{333}-a^{333}-b^{333}-c^{333}\;(1)[/inlmath], djeljiv sa [inlmath](a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3[/inlmath], ako je djeljiv [inlmath]3(a+b)\cdot(a+c)\cdot(b+c)[/inlmath], odnosno [inlmath](a+b)\cdot(a+c)\cdot(b+c)[/inlmath].

Sada uzmimo da je [inlmath]a=-b[/inlmath], i uvrstimo u [inlmath](1)[/inlmath], pa dobijamo
[dispmath](-b+b+c)^{333}-(-b)^{333}-b^{333}-c^{333}=c^{333}+b^{333}-b^{333}-c^{333}=0[/dispmath] Što će reći da [inlmath]a+b[/inlmath] dijeli [inlmath](1)[/inlmath]

Analogno dokažemo da za [inlmath]b=-c[/inlmath], i [inlmath]c=-a[/inlmath], da je [inlmath](1)[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]b+c[/inlmath], i [inlmath]c+a[/inlmath], što smo i trebali dokazati.

Da li onda znaci da ce taj polinom bit djeljiv samo ako je [inlmath]a=-b[/inlmath] ili [inlmath]b=-c[/inlmath] ili [inlmath]c=-a[/inlmath]

U principu to je to, jer
[dispmath]a=-b\;\Longrightarrow\;a+b=0[/dispmath] Pa je [inlmath](1)[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]a+b[/inlmath], tj. [inlmath]a=-b[/inlmath]

elektricar je napisao:Da li onda znaci da ce taj polinom bit djeljiv samo ako je [inlmath]a=-b[/inlmath] ili [inlmath]b=-c[/inlmath] ili [inlmath]c=-a[/inlmath]

Ne, ne znači. Ako uvrštavanjem [inlmath]a=-b[/inlmath] dobijemo da je vrednost polinoma jednaka nuli, to znači da taj polinom mora sadržati faktor [inlmath](a+b)[/inlmath].
Jer, kada u tom faktoru [inlmath]a[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]-b[/inlmath], tada taj faktor dobija vrednost nula i daje vrednost nula celom polinomu.
A čim polinom sadrži faktor [inlmath](a+b)[/inlmath], znači da mora biti i deljiv tim faktorom.

To je u suštini Bezuova teorema, koja kaže da je polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] deljiv binomom [inlmath](x-a)[/inlmath] akko je [inlmath]P(a)=0[/inlmath].
Što je i logično – ako je [inlmath]P(x)[/inlmath] deljiv sa [inlmath](x-a)[/inlmath], to znači da je [inlmath](x-a)[/inlmath] jedan od faktora polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath], pa kad u [inlmath]P(x)[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstimo [inlmath]a[/inlmath] tada dobijemo [inlmath]P(a)[/inlmath] a njegov faktor [inlmath](x-a)[/inlmath] postaje [inlmath](a-a)[/inlmath], tj. nula, pa je i vrednost celog polinoma nula.

Hvala puno, jasno mi je