MATEMANIJA

1. Jednačina [inlmath]2x^3+3x^2-12x=a,\;a\in\mathbb{R}[/inlmath] ima sva tri rešenja realna i međusobno različita, ako i samo ako vrednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] pripada?
2. Proizvod svih rešenja jednačine [inlmath]\frac{x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{x-2+\left|x-2\right|}=0[/inlmath] je?
3. Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)\left(x-6\right)}{\log\left(\frac{x}{3}-1\right)}=0[/inlmath] je?
4. Ako polinom [inlmath]x^4-x^3+ax^2+bx+c[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]x^3+2x^2-3x+1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]3x^2-2x+1[/inlmath] tada je [inlmath]\left(a+b\right)c[/inlmath]?
5. Realan broj [inlmath]a[/inlmath] za koji je polinom [inlmath]P\left(x\right)=x^4+ax^2+x-6[/inlmath] deljiv sa polinomom [inlmath]x+2[/inlmath] je?
6. Ako je jedan koren polinoma [inlmath]x^3-2x+a,\;a\in\mathbb{R}[/inlmath] kompleksan broj [inlmath]1+i,\;i^2=-1[/inlmath], onda je realan koren tog polinoma jednak?
7. Jednačina [inlmath]x^3+x^2+ax+b=0,\;\left(a,b\in\mathbb{R}\right)[/inlmath], ima rešenja [inlmath]1-\sqrt 2[/inlmath] i [inlmath]1+\sqrt 2[/inlmath]. Proizvod svih rešenja date jednačine je?
8. Ako je broj [inlmath]3[/inlmath] ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P\left(x\right)=x^5+6x^3+12x^2+ax+b[/inlmath] polinomom [inlmath]Q\left(x\right)=x^2+x-2[/inlmath], onda je [inlmath]a+3b[/inlmath]?

isto vise zadataka

1. Pročitaj ovaj tutorijal. Treba diskriminanta da bude manja od nule.
2. Jednačina je zadovljena ako je brojilac nula, a imenilac definisan. Nule iz brojioca se same nameću, [inlmath]0,1,2,3,4[/inlmath]. Proveri da li je imenilac definisan za sve te brojeve (ne sme biti nula).
3. Potpuno isto, samo su vrednosti [inlmath]2,3,4,5,6[/inlmath] i paziš da li je logaritam definisan za sve to.
4. Podeli, i uporedi koeficijente.
5. [inlmath]P(-2)=0[/inlmath]. Dobijaš lineranu jednačinu sa jednom nepoznatom po [inlmath]a[/inlmath].
6. Imaš onu formulu za proizvod nula polinoma... Ima ih tri, jedna data, a pošto je kompleksno rešenje u pitanju, onda je [inlmath]\overline{z}[/inlmath] (konjugovano [inlmath]z[/inlmath]) rešenje. Dva imaš, proizvod znaš dva i sva tri, nađeš treće...
7. [inlmath]P\left(1-\sqrt{2}\right)=0,\;P\left(1+\sqrt{2}\right)=0[/inlmath] i odatle dobijaš sistem sa dve jednačine i dve nepoznate.
8. Podeli, uporedi koeficijente.

U 3. zadatku koja je definisanost za logaritam?
Ja dobijem da je [inlmath]x>3[/inlmath] i to bi bilo rešenje [inlmath]4+5+6=15[/inlmath],
ali nije tako, rešenje je [inlmath]9[/inlmath].
Gde grešim?

Definisanost za sam logaritam jeste [inlmath]x>3[/inlmath], ali treba još uzeti u obzir i to, da imenilac ne sme biti nula, tj. da argument logaritma ne sme biti [inlmath]1[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{x}{3}-1\ne 1[/inlmath]. Tako da se dobije uslov [inlmath]x>3,\;x\ne 6[/inlmath]. Znači, rešenja su [inlmath]x=4[/inlmath] i [inlmath]x=5[/inlmath].

A za [inlmath]7.[/inlmath] zadatak mislim da bi lakši način bio da se polinom napiše u obliku [inlmath]\left(x-1+\sqrt 2\right)\left(x-1-\sqrt 2\right)\left(x-x_3\right)[/inlmath], pa je to [inlmath]\left[\left(x-1\right)^2-2\right]\left(x-x_3\right)[/inlmath], to se zatim razvije i uporede koeficijenti uz odgovarajuće članove...

sevdah baby je napisao:7. Jednačina [inlmath]x^3+x^2+ax+b=0,\;\left(a,b\in\mathbb{R}\right)[/inlmath], ima rešenja [inlmath]1-\sqrt 2[/inlmath] i [inlmath]1+\sqrt 2[/inlmath]. Proizvod svih rešenja date jednačine je?

Milovan je napisao:7. [inlmath]P\left(1-\sqrt{2}\right)=0,\;P\left(1+\sqrt{2}\right)=0[/inlmath] i odatle dobijaš sistem sa dve jednačine i dve nepoznate.

Pre nego što sam video ovu temu, probao sam ovaj zadatak da uradim preko Vijetovih veza:
[dispmath]x^3+x^2+ax+b=0[/dispmath][dispmath]a_0=1\\
a_1=1\\
a_2=a\\
a_3=b[/dispmath][dispmath]x_1+x_2+x_3=-\frac{1}{1}\\
1-\cancel{\sqrt2}+1+\cancel{\sqrt2}+x_3=-1\\
2+x_3=-1\\
x_3=-3\\
\\
x_1x_2x_3=\left(1-\sqrt 2\right)\left(1+\sqrt 2\right)(-3)=\left(1^2-\left(\sqrt 2\right)^2\right)(-3)=(1-2)(-3)=3[/dispmath]
A rešenje je [inlmath]-3[/inlmath].

Ne, rešenje upravo i jeste [inlmath]3[/inlmath], kao što si i dobio.

Aha, greska u zbirci.
Postaviću jedan zadatak ovde, pošto je iz iste zbirke.


Zadatak:
Ako je polinom [inlmath]x^3+x^2+ax+b[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^2+x+ab[/inlmath], onda je [inlmath]a+b[/inlmath] jednako?


Ovo je jedini zadatak na koji sam naleteo da ima više nepoznatih u deliocu, pa mi treba makar neka naznaka kako se rešava.

Podeliš [inlmath]x^3+x^2+ax+b[/inlmath] sa [inlmath]x^2+x+ab[/inlmath] i ostatak tog deljenja izjednačiš s nulom.

Napravio sam malu grešku, u zadatku je [inlmath]2x^2[/inlmath], a ne [inlmath]x^2[/inlmath].
Krenuo sam ovako da radim:
[dispmath]\begin{array}{l}
-\begin{cases}\left(x^3+2x^2+ax+b\right):\left(x^2+x+ab\right)=x+1\\
\underline{x^3+x^2+abx}\end{cases}\\
\hspace{1cm}-\begin{cases}x^2-abx+ax+b\\
\underline{x^2+x+ab}\\
\end{cases}\\
\hspace{2.4cm}-x-ab-abx+ax+b
\hspace{0.5cm}
\Longrightarrow\hspace{0.5cm}\enclose{box}{x(-1-ab+a)+(b-ab)}
\end{array}[/dispmath]
E, sad, pošto je delilac drugog stepena, ostatak treba biti prvog stepena, tj. oblika [inlmath]ax+b[/inlmath], pa pretpostavljam da se tu zaustavljamo i uzimamo ovo gore kao ostatak. Je l' sam u pravu? Pitam, jer ne vidim šta bih iz ovoga mogao da izvučem kad ga izjednačim sa nulom.

Da, ostatak ti je ovo što si uokvirio. E, sad, ostatak treba da je jednak nuli, tj. treba da je nula-polinom, a to je polinom kod koga su svi koeficijenti jednaki nuli. Kod polinoma koji si dobio, [inlmath]-1-ab+a[/inlmath] predstavlja koeficijent uz linearni član, tj. uz prvi stepen, a [inlmath]b-ab[/inlmath] predstavlja koeficijent uz nulti stepen, tj. slobodan koeficijent. Da bi taj ostatak koji si dobio bio nula-polinom, potrebno je da oba ta koeficijenta budu jednaka nuli. Znači, sistem od dve jednačine s dve nepoznate.