od Daniel » Utorak, 25. Jun 2013, 16:16
[inlmath]x^3-2x^2-3x+a[/inlmath] je neki polinom. Kod polinoma važi da, ako je nula tog polinoma neki kompleksan broj, onda je i njegov konjugovano-kopleksni par – takođe nula tog polinoma.
Dakle, pošto je [inlmath]2-i[/inlmath] nula ovog polinoma, takođe će njegova nula biti i [inlmath]2+i[/inlmath].
Prema tome, već znamo dva rešenja jednačine [inlmath]x^3-2x^2-3x+a=0[/inlmath]. Jedno rešenje je [inlmath]2-i[/inlmath], drugo rešenje je [inlmath]2+i[/inlmath]:[dispmath]x^3-2x^2-3x+a=\left[x-\left(2-i\right)\right]\left[x-\left(2+i\right)\right]\left(x-x_3\right)[/dispmath]Sa [inlmath]x_3[/inlmath] je obeleženo treće rešenje ove jednačine (pošto je jednačina [inlmath]3.[/inlmath] stepena, broj njenih rešenja je [inlmath]3[/inlmath]).
Sad to sredimo i izmnožimo:[dispmath]x^3-2x^2-3x+a=\left(x-2+i\right)\left(x-2-i\right)\left(x-x_3\right)[/dispmath][dispmath]x^3-2x^2-3x+a=\left[\left(x-2\right)^2-i^2\right]\left(x-x_3\right)[/dispmath][dispmath]x^3-2x^2-3x+a=\left(x^2-4x+5\right)\left(x-x_3\right)[/dispmath][dispmath]x^3-2x^2-3x+a=x^3-4x^2+5x-x_3x^2+4x_3x-5x_3[/dispmath][dispmath]x^3-2x^2-3x+a=x^3-\left(x_3+4\right)x^2+\left(4x_3+5\right)x-5x_3[/dispmath]Izjednačimo koeficijente uz jednake stepene na levoj i na desnoj strani i dobijemo jednačine:[dispmath]-2=-\left(x_3+4\right)\quad\Rightarrow\quad x_3=-2[/dispmath][dispmath]-3=\left(4x_3+5\right)\quad\Rightarrow\quad x_3=-2[/dispmath][dispmath]a=-5x_3\quad\Rightarrow\quad\underline{a=10}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain