MATEMANIJA

13. Ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3+x[/inlmath] polinomom [inlmath]x^2-1[/inlmath] iznosi:
[inlmath](A)\;0\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;1\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;2x\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;4x\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(E)}\;6x\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Primecujem da je svaki eksponent deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] i da ima neka fora kao sa slicnim zadatkom u nekom od prethodnih postova, sa izvlacenjem ispred zagrade, ali ne mogu da uradim zadatak, pomagajte

Da ne bi došlo da zabune polinom [inlmath]x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3+x[/inlmath] je [inlmath]A(x)[/inlmath], dok je polinom [inlmath]x^2-1=D(x)[/inlmath]
Polinom [inlmath]A(x)[/inlmath] rastavićemo na polinome [inlmath]P(x)[/inlmath] i [inlmath]Q(x)[/inlmath]
[dispmath]P(x)=x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3[/dispmath]
[dispmath]Q(x)=x[/dispmath]
[dispmath]A(x)=P(x)+Q(x)[/dispmath]
[dispmath]\frac{A(x)}{D(x)}=\frac{P(x)+Q(x)}{D(x)}[/dispmath]
[dispmath]\frac{A(x)}{D(x)}=\frac {P(x)}{D(x)}+\frac{Q(x)}{D(x)}[/dispmath]
Sad racunamo samo [inlmath]P(x)[/inlmath]
[dispmath]\frac{P(x)}{D(x)}=\frac {x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3}{x^2-1}[/dispmath]
[dispmath]=\frac{x\left(x^{242}+x^{80}+x^{26}+x^8+x^2\right)}{x^2-1}[/dispmath]
Zamenimo [inlmath]x^2[/inlmath] sa [inlmath]t[/inlmath]
[dispmath]=\frac{x\left(t^{121}+t^{40}+t^{13}+t^4+t\right)}{t-1}[/dispmath]
Po Bezuovoj teoremi:
[dispmath]=x\cdot 5[/dispmath]
[dispmath]\frac{P(x)}{D(x)}={5x}[/dispmath]
Sada [inlmath]Q(x)[/inlmath]
[dispmath]\frac{Q(x)}{D(x)}=\frac{x}{x^2-1}[/dispmath]
[dispmath]=x[/dispmath]
Sad se vraćamo na početak i zamenjujemo vrednosti:
[dispmath]\frac{A(x)}{D(x)}=\frac{P(x)+Q(x)}{D(x)}[/dispmath]
[dispmath]=5x+x[/dispmath]
[dispmath]=\enclose{box}{6x}[/dispmath]

Vrlo zanimljivo rešenje.

Samo bih naglasio da

ubavic je napisao:[dispmath]=\frac{x\left(t^{121}+t^{40}+t^{13}+t^4+t\right)}{t-1}[/dispmath]
Po Bezuovoj teoremi:
[dispmath]=x\cdot 5[/dispmath]

ovo [inlmath]x\cdot 5[/inlmath] predstavlja ostatak pri deljenju, jer bi ovako moglo izgledati kao da je u pitanju količnik.

Takođe i ovde,

ubavic je napisao:[dispmath]\frac{Q(x)}{D(x)}=\frac{x}{x^2-1}[/dispmath]
[dispmath]=x[/dispmath]

[inlmath]x[/inlmath] predstavlja, dakle, ostatak.

Inače, zadatak je moguće uraditi i na način koji je pokazan ovde ([inlmath]1.[/inlmath] način), pri čemu delilac, [inlmath]\left(x^2-1\right)[/inlmath], faktorišemo kao [inlmath]\left(x+1\right)\left(x-1\right)[/inlmath].

Da, Daniele, u pravu si oko ostatka, možda je trebalo da napišem [inlmath]0+R[/inlmath] ili tako nešto?

Recimo, ovako:[dispmath]x\left(t^{121}+t^{40}+t^{13}+t^4+t\right)=\left(t-1\right)G\left(x\right)+5x[/dispmath]

Laksi nacin:

[inlmath]x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3+x=k(x)\cdot\left(x^2-1\right)+Ax+B[/inlmath]

[inlmath]Ax+B[/inlmath] predstavlja ostatak.

I sada iz [inlmath]x^2-1[/inlmath] vidimo da je za [inlmath]x=1,\;A+B=6[/inlmath]
a za [inlmath]x=-1,\;-A+B=-6[/inlmath].
Resavanjem sistema dobijamo da je [inlmath]A=6,\;B=0[/inlmath]
sto znaci da je ostatak [inlmath]6x[/inlmath].