Pozdrav svima! Imam problem sa sledecim zadatkom:
Ako su [inlmath]a,b,c[/inlmath] brojevi razliti od nule, tri korena polinoma [inlmath]P(x)=x^3-ax^2+bx-c[/inlmath], koliko je [inlmath]P(2)[/inlmath]? (Resenje: [inlmath]9[/inlmath])
Kako su [inlmath]a,b,c[/inlmath] nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] sledi
[dispmath]P(a)=a^3-a^3+ab-c=0\\
P(b)=b^3-ab^2+b^2-c=0\\
P(c)=c^3-ac^2+bc-c=0[/dispmath] To jest
[dispmath]ab=c\\
b^3-ab^2+b^2-c=0\\
c^2-ac+b-1=0[/dispmath] Sistem ima dva para resenja: [inlmath](a,b,c)=(-1,-1,1)[/inlmath] i [inlmath](a',b',c')=(1,-1,-1)[/inlmath].
Medjutim, u resenjima su dobili jednoznacna resenja [inlmath](a,b,c)=(-1,-1,1)[/inlmath]. U zbirci je radjeno preko Vijetovih veza, ali to, naravno, ne menja nista.
Sad, da bih video sta to ne stima kod drugog para resenja, uzeo sam lepo i zamenio dobijene koeficijente [inlmath](a',b',c')[/inlmath] u pocetni polinom [inlmath]P(x)[/inlmath][dispmath]P(x)=x^3-x^2-x+1\\
P(1)=1-1-1+1=0\\
P(-1)=-1-1+1+1=0[/dispmath] Dakle, po ovome je sve OK. Interesuje me da li sam ja napravio neki prestup pri resavanju zadatka ili je tekst zadatka nepotpun? Hvala unapred!
Zanemarivanje drugog para koeficijenata [inlmath](1,-1,-1)[/inlmath] bilo bi mi donekle razumljivo da se u oba slucaja (i kada u pocetnom polinomu koeficijente [inlmath](a,b,c)[/inlmath] menjamo sa [inlmath](-1,-1,1)[/inlmath], i kada iste menjamo sa [inlmath](1,-1,-1)[/inlmath]) dobije isto resenje. U prvom slucaju (kada koeficijente [inlmath](a,b,c)[/inlmath] menjamo sa [inlmath](-1,-1,1)[/inlmath]), [inlmath]P(2)=9[/inlmath], a u drugom (kada koeficijente [inlmath](a,b,c)[/inlmath] menjamo sa [inlmath](1,-1,1)[/inlmath]), [inlmath]P(2)=3[/inlmath].