Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Odrediti koeficijente polinoma treceg stepena

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Odrediti koeficijente polinoma treceg stepena

Postod Frank » Nedelja, 14. Jun 2020, 21:31

Pozdrav svima! Imam problem sa sledecim zadatkom:
Ako su [inlmath]a,b,c[/inlmath] brojevi razliti od nule, tri korena polinoma [inlmath]P(x)=x^3-ax^2+bx-c[/inlmath], koliko je [inlmath]P(2)[/inlmath]? (Resenje: [inlmath]9[/inlmath])
Kako su [inlmath]a,b,c[/inlmath] nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] sledi
[dispmath]P(a)=a^3-a^3+ab-c=0\\
P(b)=b^3-ab^2+b^2-c=0\\
P(c)=c^3-ac^2+bc-c=0[/dispmath] To jest
[dispmath]ab=c\\
b^3-ab^2+b^2-c=0\\
c^2-ac+b-1=0[/dispmath] Sistem ima dva para resenja: [inlmath](a,b,c)=(-1,-1,1)[/inlmath] i [inlmath](a',b',c')=(1,-1,-1)[/inlmath].
Medjutim, u resenjima su dobili jednoznacna resenja [inlmath](a,b,c)=(-1,-1,1)[/inlmath]. U zbirci je radjeno preko Vijetovih veza, ali to, naravno, ne menja nista.
Sad, da bih video sta to ne stima kod drugog para resenja, uzeo sam lepo i zamenio dobijene koeficijente [inlmath](a',b',c')[/inlmath] u pocetni polinom [inlmath]P(x)[/inlmath][dispmath]P(x)=x^3-x^2-x+1\\
P(1)=1-1-1+1=0\\
P(-1)=-1-1+1+1=0[/dispmath] Dakle, po ovome je sve OK. Interesuje me da li sam ja napravio neki prestup pri resavanju zadatka ili je tekst zadatka nepotpun? :) Hvala unapred!
Zanemarivanje drugog para koeficijenata [inlmath](1,-1,-1)[/inlmath] bilo bi mi donekle razumljivo da se u oba slucaja (i kada u pocetnom polinomu koeficijente [inlmath](a,b,c)[/inlmath] menjamo sa [inlmath](-1,-1,1)[/inlmath], i kada iste menjamo sa [inlmath](1,-1,-1)[/inlmath]) dobije isto resenje. U prvom slucaju (kada koeficijente [inlmath](a,b,c)[/inlmath] menjamo sa [inlmath](-1,-1,1)[/inlmath]), [inlmath]P(2)=9[/inlmath], a u drugom (kada koeficijente [inlmath](a,b,c)[/inlmath] menjamo sa [inlmath](1,-1,1)[/inlmath]), [inlmath]P(2)=3[/inlmath].
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Odrediti koeficijente polinoma treceg stepena

Postod miletrans » Nedelja, 14. Jun 2020, 22:25

Prevideo si da u obe varijante [inlmath]-1[/inlmath] mora da bude dvostruka nula polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath]. Kada faktorizuješ oba polinoma koji si ti dobio videćeš da samo jedan od njih (i to ovaj naveden u rešenju) ispunjava zadati uslov.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

  • +1

Re: Odrediti koeficijente polinoma treceg stepena

Postod Daniel » Nedelja, 14. Jun 2020, 22:39

I, da si radio preko Vietovih veza (kao što je rađeno u zbirci), tačno bi i dobio samo to jedno rešenje.
Pošto si radio na ovaj način, ti si u jednom trenutku (pretpostavljam) dobio [inlmath]b=-1[/inlmath] (što jeste tačno), a nakon toga, kada si dobio [inlmath]a^2=1[/inlmath] trebalo je da analiziraš da li neko od ta dva rešenja ([inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]a=-1[/inlmath]) otpada, a to upravo proveravaš tako što ili faktorišeš dobijeni polinom (kako ti je miletrans i rekao) i proveriš da li se višestrukost njegovih nula poklapa s rešenjem koje si dobio, ili na osnovu dobijenih nula napišeš taj polinom – za drugo rešenje bi dobio [inlmath]P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-1)(x+1)(x+1)=x^3+x^2-x-1[/inlmath], i video bi da se njegovi koeficijenti ne poklapaju s tvojim drugim rešenjem.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Odrediti koeficijente polinoma treceg stepena

Postod Frank » Ponedeljak, 15. Jun 2020, 13:25

Razumeo sam pricu o faktorizaciji polinoma i uporedjivanju koeficijenata. Hvala obojici!
Medjutim, nije mi jasno iz kog razloga su koraci
Frank je napisao:[dispmath]P(x)=x^3-x^2-x+1\\
P(1)=1-1-1+1=0\\
P(-1)=-1-1+1+1=0[/dispmath]

zadovoljeni?
Neispravnost drugog resenja [inlmath](1,-1,-1)[/inlmath] se lako pokazuje i pomocu Vietovih veza
[dispmath]a+b+c=a\\
1-1-1\ne1[/dispmath]
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +2

Re: Odrediti koeficijente polinoma treceg stepena

Postod miletrans » Ponedeljak, 15. Jun 2020, 14:07

Zadovoljeni su zato što [inlmath]-1[/inlmath] jeste nula i tačnog i netačnog polinoma, ali je samo kod tačnog polinoma to dvostruka nula. Po uslovu zadatka, polinom mora da ima sledeći oblik:
[dispmath](x-a)(x-b)(x-c)[/dispmath] Sad uradi ono što ti je predložio Daniel, napiši polinom kao:
[dispmath](x+1)(x-1)^2[/dispmath] pa ga sredi pa vidi koji ćeš od ova dva da dobiješ.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

  • +1

Re: Odrediti koeficijente polinoma treceg stepena

Postod Daniel » Ponedeljak, 15. Jun 2020, 19:21

Inače, ovaj sistem od kojeg si krenuo,
Frank je napisao:[dispmath]ab=c\\
b^3-ab^2+b^2-c=0\\
c^2-ac+b-1=0[/dispmath]

imao bi još jedno rešenje, [inlmath](1,1,1)[/inlmath]. Preporučujem da proveriš gde ti se u postupku to rešenje izgubilo, čisto ako nekad ubuduće bude trebalo da rešavaš neki sličan sistem.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 29 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 08:15 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs