Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Naci koeficijente polinoma cetvrtog stepena

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Naci koeficijente polinoma cetvrtog stepena

Postod Frank » Ponedeljak, 15. Jun 2020, 16:57

Pozdrav! Naisao sam na jos jedan problematican zadatak:
Odrediti polinom cetvrtog stepena koji zadovoljava uslove [inlmath]P(2)=P(-2)=P(-3)=1[/inlmath] i [inlmath]P(1)=P(-1)=2[/inlmath]. Koliko je [inlmath]P(0)[/inlmath]? (Resenje: [inlmath]\frac{5}{2})[/inlmath]
Neka je trazeni polinom oblika [inlmath]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/inlmath]. Po uslovu zadatka imamo
[dispmath]16a+8b+4c+2d+e=1\\
16a-8b+4c-2d+e=1\\
81a-27b+9c-3d+e=1\\
a+b+c+d+e=2\\
a-b+c-d+e=2[/dispmath] Resenje ovog sistema je [inlmath](a,b,c,d,e)=\left(\frac{1}{24},0,-\frac{13}{24},0,\frac{5}{2}\right)[/inlmath]. Resenje zadatka [inlmath]P(0)[/inlmath] je [inlmath]P(0)=e=\frac{5}{2}[/inlmath].
Medjutim, u zbirci zadatak je resen faktorizacijom polinoma. U resenjima pise da trazeni polinom (u faktorisanom obliku) glasi [inlmath]P(x)=\frac{1}{8}(x-3)(x-2)(x+2)(x+3)-1[/inlmath]. Iz ovog oblika ja nikako ne mogu da dodjem do rezultata [inlmath]\frac{5}{2}[/inlmath], za [inlmath]P(0)[/inlmath], a i koeficijenti koje sam ja dobio resavajuci sistem se potpuno razlikuju od koeficijenata polinoma iz resenja. Gde je zapravo greska, kod mene ili kod njih? :) Hvala!
Frank   ONLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Naci koeficijente polinoma cetvrtog stepena

Postod miletrans » Ponedeljak, 15. Jun 2020, 20:19

Ovako "na blic", mislim da je greška u rešenju u zbirci. Ako u "njihov" faktorisani polinom uvrstimo [inlmath]x=2[/inlmath], nećemo dobiti da je [inlmath]P(2)=1[/inlmath] što je neophodno po uslovu zadatka.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

  • +1

Re: Naci koeficijente polinoma cetvrtog stepena

Postod Frank » Utorak, 16. Jun 2020, 13:42

U cilju uočavanja greške i otklanjanju iste ispisaću celo rešenje iz zbirke, "od a do š":
Iz uslova [inlmath]P(2)=P(-2)=P(-3)=1[/inlmath] i pošto je [inlmath]P(x)[/inlmath] polinom četvrtog stepena imamo
[dispmath]P(x)=(ax+b)(x-2)(x+2)(x+3)-1[/dispmath] Tada je [inlmath]P(1)=-12(a+b)-1[/inlmath] i [inlmath]P(1)=-6(-a+b)-1[/inlmath]. Uslov [inlmath]P(1)=P(-1)=2[/inlmath] ekvivalentan je sistemu
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
-12(a+b)-1=2\\
-6(-a+b)-1=2
\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;a=\frac{1}{8},\;b=-\frac{3}{8}[/dispmath] pa je
[dispmath]P(x)=\frac{1}{8}(x-3)(x-2)(x+2)(x+3)-1\;\Longrightarrow\;P(0)=-\frac{3}{8}\cdot(-2)\cdot2\cdot3-1=\frac{5}{2}[/dispmath]
Frank   ONLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Naci koeficijente polinoma cetvrtog stepena

Postod Daniel » Utorak, 16. Jun 2020, 13:56

Da, definitivno je greška u rešenju u zbirci, naravno da umesto
Frank je napisao:[dispmath]P(x)=(ax+b)(x-2)(x+2)(x+3)-1[/dispmath]

treba da stoji [inlmath]P(x)=(ax+b)(x-2)(x+2)(x+3){\color{red}+}1[/inlmath].

E sad, kako su s ovom greškom dobili tačno rešenje? Pa, tako što su napravili još jednu grešku, na samom kraju,
Frank je napisao:[dispmath]P(0)=-\frac{3}{8}\cdot(-2)\cdot2\cdot3-1=\frac{5}{2}[/dispmath]

Kad bi se ovo ispravno izračunalo, dobilo bi se [inlmath]\frac{7}{2}[/inlmath] a ne [inlmath]\frac{5}{2}[/inlmath] kako je u zbirci napisano.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 29 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs