Pozdrav! Naisao sam na jos jedan problematican zadatak:
Odrediti polinom cetvrtog stepena koji zadovoljava uslove [inlmath]P(2)=P(-2)=P(-3)=1[/inlmath] i [inlmath]P(1)=P(-1)=2[/inlmath]. Koliko je [inlmath]P(0)[/inlmath]? (Resenje: [inlmath]\frac{5}{2})[/inlmath]
Neka je trazeni polinom oblika [inlmath]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/inlmath]. Po uslovu zadatka imamo
[dispmath]16a+8b+4c+2d+e=1\\
16a-8b+4c-2d+e=1\\
81a-27b+9c-3d+e=1\\
a+b+c+d+e=2\\
a-b+c-d+e=2[/dispmath] Resenje ovog sistema je [inlmath](a,b,c,d,e)=\left(\frac{1}{24},0,-\frac{13}{24},0,\frac{5}{2}\right)[/inlmath]. Resenje zadatka [inlmath]P(0)[/inlmath] je [inlmath]P(0)=e=\frac{5}{2}[/inlmath].
Medjutim, u zbirci zadatak je resen faktorizacijom polinoma. U resenjima pise da trazeni polinom (u faktorisanom obliku) glasi [inlmath]P(x)=\frac{1}{8}(x-3)(x-2)(x+2)(x+3)-1[/inlmath]. Iz ovog oblika ja nikako ne mogu da dodjem do rezultata [inlmath]\frac{5}{2}[/inlmath], za [inlmath]P(0)[/inlmath], a i koeficijenti koje sam ja dobio resavajuci sistem se potpuno razlikuju od koeficijenata polinoma iz resenja. Gde je zapravo greska, kod mene ili kod njih? Hvala!