Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Odrediti vrednost izraza primenom Vietovih veza

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Odrediti vrednost izraza primenom Vietovih veza

Postod Frank » Utorak, 16. Jun 2020, 23:09

Pozdrav! Zadatak glasi:
Neka su [inlmath]x_1, x_2, x_3[/inlmath] koreni polinoma [inlmath]ax^3-ax^2+bx+b\hspace{1mm}(a,b\ne0)[/inlmath]. Izracunati vrednost izraza:[inlmath]x_1^3x_2+x_1x_2^3+x_2^3x_3+x_2x_3^3+x_3^3x_1+x_3x_1^3[/inlmath]. [inlmath]\left(\text{Resenje: }\frac{2b(a-b)}{a^2}\right)[/inlmath]
Moj postupak je sledeci:
[dispmath]x_1^3(x_2+x_3)+x_2^3(x_1+x_3)+x_3^3(x_1+x_2)[/dispmath] Po Vietovim vezama vazi
[dispmath]x_1+x_2+x_3=1\;\Longrightarrow\;x_1+x_2=1-x_3[/dispmath] Analogno i za [inlmath]x_1+x_3[/inlmath] i [inlmath]x_1+x_2[/inlmath]. Sada izraz dobija oblik
[dispmath]x_1^3+x_2^3+x_3^3-\left(x_1^4+x_2^4+x_3^4\right)[/dispmath] Posle ovog koraka nailazim na problem - ne znam kako da [inlmath]x_1^3+x_2^3+x_3^3[/inlmath] transformisem u oblik u kojem se mogu namestim na Vitove veze.
[dispmath](x_1+x_2+x_3)^3-3\left(x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1^2x_3+x_2^2x_3+x_1x_3^2+x_3^2x_2+2x_1x_2x_3\right)[/dispmath] Ovde se potpuno ukopam - nemam bas nikakvu ideju kako da izraz u desnoj zagradi namestim na Vietove veze, tj. na oblik u kojem se one mogu primeniti. Mozda bih i mogao da "ubodem" nagadjanjem (mnozenjem dva proizvoljna izraza), ali nije to to... Zaista bih voleo da znam kako da izraz [inlmath]x_1^3+x_2^3+x_3^3[/inlmath] namestiti na Vietove veze, i da je sve "cisto", tj. bez nagadjanja. :) To bi moglo biti od velike koristi u nekim drugim, potencijalnim zadacima. Hvala!
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Odrediti vrednost izraza primenom Vietovih veza

Postod Daniel » Sreda, 17. Jun 2020, 04:45

Pozdrav! Ja bih izbegao zbir kubova [inlmath]x_1^3+x_2^3+x_3^3[/inlmath] time što bih zadati izraz napisao kao
[dispmath]\begin{align}
&x_1^2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)-x_1^2x_2x_3\\
+&x_2^2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)-x_1x_2^2x_3\\
+&x_3^2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)-x_1x_2x_3^2
\end{align}[/dispmath] Naravno, izvuče se [inlmath](x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)[/inlmath], a zbir kvadrata [inlmath]x_1^2+x_2^2+x_3^2[/inlmath] može se izraziti koristeći identitet [inlmath](x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)[/inlmath].

Dalje je, ja mislim, prilično očigledno...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 33 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 00:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs