Pozdrav! Zadatak glasi:
Neka su [inlmath]x_1, x_2, x_3[/inlmath] koreni polinoma [inlmath]ax^3-ax^2+bx+b\hspace{1mm}(a,b\ne0)[/inlmath]. Izracunati vrednost izraza:[inlmath]x_1^3x_2+x_1x_2^3+x_2^3x_3+x_2x_3^3+x_3^3x_1+x_3x_1^3[/inlmath]. [inlmath]\left(\text{Resenje: }\frac{2b(a-b)}{a^2}\right)[/inlmath]
Moj postupak je sledeci:
[dispmath]x_1^3(x_2+x_3)+x_2^3(x_1+x_3)+x_3^3(x_1+x_2)[/dispmath] Po Vietovim vezama vazi
[dispmath]x_1+x_2+x_3=1\;\Longrightarrow\;x_1+x_2=1-x_3[/dispmath] Analogno i za [inlmath]x_1+x_3[/inlmath] i [inlmath]x_1+x_2[/inlmath]. Sada izraz dobija oblik
[dispmath]x_1^3+x_2^3+x_3^3-\left(x_1^4+x_2^4+x_3^4\right)[/dispmath] Posle ovog koraka nailazim na problem - ne znam kako da [inlmath]x_1^3+x_2^3+x_3^3[/inlmath] transformisem u oblik u kojem se mogu namestim na Vitove veze.
[dispmath](x_1+x_2+x_3)^3-3\left(x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1^2x_3+x_2^2x_3+x_1x_3^2+x_3^2x_2+2x_1x_2x_3\right)[/dispmath] Ovde se potpuno ukopam - nemam bas nikakvu ideju kako da izraz u desnoj zagradi namestim na Vietove veze, tj. na oblik u kojem se one mogu primeniti. Mozda bih i mogao da "ubodem" nagadjanjem (mnozenjem dva proizvoljna izraza), ali nije to to... Zaista bih voleo da znam kako da izraz [inlmath]x_1^3+x_2^3+x_3^3[/inlmath] namestiti na Vietove veze, i da je sve "cisto", tj. bez nagadjanja. To bi moglo biti od velike koristi u nekim drugim, potencijalnim zadacima. Hvala!