Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Zbir svih realnih resenja jednacine ako je dato jedno resenje – drugi probni prijemni FON 2020.

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Zbir svih realnih resenja jednacine ako je dato jedno resenje – drugi probni prijemni FON 2020.

Postod Ivana125 » Petak, 26. Jun 2020, 15:43

Drugi probni prijemni ispit FON – 25. jun 2020.
8. zadatak


Ako je [inlmath]4−2i[/inlmath] jedno rešenje jednačine [inlmath]x^4+92x^3-881x^2+2808x-2020=0[/inlmath], onda je zbir svih realnih rešenja date jednačine jednak?
Resenje je [inlmath]-100[/inlmath].
Pocela sam da se radim preko Vietovih formula i dobijem da je [inlmath]x_1+x_2+x_3+x_4=-92[/inlmath] Ali ne znam kako dalje, ako se uopste ovako radi. I nadam se da nisam promasila temu. Hvala unapred, bas me muci ovaj zadatak a pretpostavljam da je u pitanju nesto lako
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Zbir svih realnih resenja jednacine ako je dato jedno resenje – drugi probni prijemni FON 2020.

Postod Frank » Petak, 26. Jun 2020, 16:17

Kako je [inlmath]4-2i[/inlmath] jedna nula polinoma sledi da ce druga nula polinoma biti [inlmath]4+2i[/inlmath] (ovo svojstvo važi isključivo kod polinoma sa realnim koeficijentima). Koristeći teoremu o faktorizaciji polinoma, napiseš polinom čije su nule [inlmath]4-2i[/inlmath] i [inlmath]4+2i[/inlmath]. Neka je to polinom [inlmath]Q(x)[/inlmath].
[dispmath]Q(x)=(x-4+2i)(x-4+2i)=x^2-8x+20[/dispmath] Posto ovo uradiš, polinom iz teksta zadatka podeliš polinomom [inlmath]Q(x)[/inlmath]. Kada podeliš ova dva polinoma dobićeš polinom drugog stepena čije nule možes vrlo lako odrediti.

U postupku rešavanja zadatka koristili smo sledeće teoreme:
  • Teorema o faktorizaciji polinoma - Svaki polinom [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena [inlmath]p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,\hspace{2mm}a_0\ne0[/inlmath] može biti predstavljen u obliku [inlmath]p(x)=a_0(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)[/inlmath].
  • Polinom [inlmath]a(x)[/inlmath] deljiv je polinomom [inlmath]b(x)[/inlmath] ako i samo ako je svaki koren polinoma [inlmath]b(x)[/inlmath] ujedno i koren polinoma [inlmath]a(x)[/inlmath].
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 497
Zahvalio se: 222 puta
Pohvaljen: 374 puta

Re: Zbir svih realnih resenja jednacine ako je dato jedno resenje – drugi probni prijemni FON 2020.

Postod miletrans » Petak, 26. Jun 2020, 16:25

Dobro si krenula preko Vietovih formula. Pošto znamo da je [inlmath]x_3=4-2i[/inlmath], onda znamo i koliko je [inlmath]x_4[/inlmath] (koliko?). I onda direktno znamo koliko je [inlmath]x_1+x_2[/inlmath].

Iz samog teksta zadatka (data je jedna kompleksna nula, a traži se zbir realnih nula), jasno je da će dve nule ovog polinoma biti kompleksne, a dve realne. Da je tekst zadatka glasio "koliko ima kompleksnih nula", tada bismo morali da delimo.
Globalni moderator
 
Postovi: 557
Zahvalio se: 51 puta
Pohvaljen: 656 puta

  • +1

Re: Zbir svih realnih resenja jednacine ako je dato jedno resenje – drugi probni prijemni FON 2020.

Postod Daniel » Petak, 26. Jun 2020, 17:17

miletrans je napisao:Iz samog teksta zadatka (data je jedna kompleksna nula, a traži se zbir realnih nula), jasno je da će dve nule ovog polinoma biti kompleksne, a dve realne. Da je tekst zadatka glasio "koliko ima kompleksnih nula", tada bismo morali da delimo.

Ja se ne bih baš usudio da na taj način zaključim da polinom mora imati realne nule. Da su sve četiri nule kompleksne, zbog čega se tada ne bi moglo reći da zbir realnih nula iznosi [inlmath]0[/inlmath]? (Tim pre što [inlmath]0[/inlmath] i jeste jedan od ponuđenih odgovora.)

Međutim, lako se možemo uveriti, takođe primenom Vieta, da ne mogu sve četiri nule biti kompleksne, jer bi tada njihov proizvod [inlmath]x_1x_2x_3x_4[/inlmath] morao biti veći od nule (proizvod konjugovano-kompleksnih brojeva je uvek realan i pozitivan). Međutim, kako je prema Vietovim formulama [inlmath]x_1x_2x_3x_4=\frac{-2020}{1}<0[/inlmath], to zaključujemo da ovaj polinom ne može imati sve četiri kompleksne nule, tj. da mora imati dve realne nule.

Inače, da l' je propust sastavljača zadatka, il' je namerno tako urađeno – ali u zadatku je dato više podataka nego što je dovoljno. Da je samo rečeno da je [inlmath]4-2i[/inlmath] jedno rešenje jednačine [inlmath]x^4+92x^3-881x^2+2808x+m=0[/inlmath], odatle bi sledilo ovo što je inače dato, a to je [inlmath]m=-2020[/inlmath].
Moguće da su tim podatkom hteli rešavačima da skrate posao.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5015 puta
Pohvaljen: 4854 puta

Re: Zbir svih realnih resenja jednacine ako je dato jedno resenje – drugi probni prijemni FON 2020.

Postod Daniel » Petak, 26. Jun 2020, 17:38

Frank je napisao:
  • Teorema o faktorizaciji polinoma - Svaki polinom [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena [inlmath]p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,\hspace{2mm}a_0\ne0[/inlmath] može biti predstavljen u obliku [inlmath]p(x)=a_0(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)[/inlmath].

Obeležavanje nije dobro. S ovim oznakama, ispalo bi da su svi koeficijenti nekog polinoma ujedno i nule tog polinoma, a znamo da to nije slučaj. Dakle, ne [inlmath]p(x)=a_0(x-{\color{red}a}_1)(x-{\color{red}a}_2)\cdots(x-{\color{red}a}_n)[/inlmath] već [inlmath]p(x)=a_0(x-{\color{green}x}_1)(x-{\color{green}x}_2)\cdots(x-{\color{green}x}_n)[/inlmath], gde su [inlmath]x_1,x_2,\dots,x_n[/inlmath] nule tog polinoma.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5015 puta
Pohvaljen: 4854 puta

Re: Zbir svih realnih resenja jednacine ako je dato jedno resenje – drugi probni prijemni FON 2020.

Postod Frank » Petak, 26. Jun 2020, 17:44

Teoreme prepisah iz zbirke, od reči do reči. Ne kažem da nisi u pravu, već...
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 497
Zahvalio se: 222 puta
Pohvaljen: 374 puta

Re: Zbir svih realnih resenja jednacine ako je dato jedno resenje – drugi probni prijemni FON 2020.

Postod Daniel » Petak, 26. Jun 2020, 18:06

Ni zbirke nisu imune na štamparske i druge greške (što potvrđuje i ovaj primer), tako da treba s izvesnom rezervom uzimati i ono što je u njima napisano.

Valjda se slažeš da se [inlmath]x^2-4x+3[/inlmath] ne može napisati kao [inlmath](x+4)(x-3)[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5015 puta
Pohvaljen: 4854 puta

Re: Zbir svih realnih resenja jednacine ako je dato jedno resenje – drugi probni prijemni FON 2020.

Postod Frank » Petak, 26. Jun 2020, 18:14

Daniel je napisao:Valjda se slažeš da se [inlmath]x^2-4x+3[/inlmath] ne može napisati kao [inlmath](x+4)(x-3)[/inlmath]?

Naravno da se slažem.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 497
Zahvalio se: 222 puta
Pohvaljen: 374 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 28. Jun 2022, 20:11 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs