Ostatak pri deljenju polinoma – drugi probni prijemni FON 2021.

PostPoslato: Sreda, 23. Jun 2021, 14:50
od kagejama02
Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2021.
10. zadatak


Pozdrav, radio sam jedan zadatak koji se bio ove godine (2021.) na probnom na FON-u. U pitanju je zadatak iz polinoma koji glasi:

Ako je polinom [inlmath]P(x)=\left(20x^2-x-20\right)x^{20}+ax+b[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^2+1[/inlmath], tada je ostatak koji se dobija deljenjem polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] polinomom [inlmath]x^2-1[/inlmath] jednak:
Resenje je [inlmath]40[/inlmath]

U principu ja sam dobio tacno resenje ali se sad pitam da li je to bila samo sreca ili ne?

Postupak:
[dispmath]P(x)=\left(20x^2-x-20\right)x^{20}+ax+b[/dispmath] ovde sam uvrstio jedno kompleksno resenje [inlmath](i)[/inlmath]

i za vrednosti [inlmath](a,b)[/inlmath] dobio [inlmath]a=40[/inlmath]; [inlmath]b=-1[/inlmath]

Zatim sam vratio te vrednosti nazad u polinom i stao kod dela:
[dispmath]\frac{\left(20x^2-x-20\right)x^{20}+40x-1}{x^2-1}[/dispmath] sta sam ja uradio ovde: Skontao sam da ako zamenim resenje [inlmath](-1)[/inlmath] u polinom, to sto dobijem mogu da izjednacim sa nulom, naravno tu ne dobijam nikakva resenja nego samo neki ostatak.

Konkretno [inlmath]40=0[/inlmath], sto znaci da je to visak i samim tim resenje zadatka tj ostatak.

Moje pitanje je da li je ovo slucajnost ili se ovo ovako radi, ako ne kako se deli onda ovo gore?

Hvala celom forumu btw svi su odgovorni, pozz :D

Re: Ostatak pri deljenju polinoma – drugi probni prijemni FON 2021.

PostPoslato: Sreda, 23. Jun 2021, 15:34
od Acim
Ubacivanjem [inlmath]P(i)[/inlmath] dobijamo;
[dispmath]-20-i-20+ai+b=0\\
ai+b-40-i=0[/dispmath] Odavde izdvajanjem imaginarnog i realnog dela dobijamo da je [inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]b=40[/inlmath]. Sada, vrati te vrednosti za [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] koje si dobio u početni polinom;
[dispmath]P\left(x\right)=\left(20x^2-x-20\right)x^{20}+x+40[/dispmath] Na kraju, kako delimo polinomom drugog stepena, ostatak će biti prvog stepena, tj. [inlmath]ax+b[/inlmath]. Iz [inlmath]x^2-1[/inlmath] imamo vrednosti [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] i one treba da budu jednake ostatku;
[dispmath]P\left(1\right)=R\left(1\right)=20-1-20+1+40=a+b\\
P\left(-1\right)=R\left(-1\right)=20+1-20-1+40=-a+b[/dispmath] Rešavanjem ovog sistema dobijamo da je vrednost [inlmath]a=0[/inlmath], a [inlmath]b=40[/inlmath].
[dispmath]R\left(x\right)=40[/dispmath]

Re: Ostatak pri deljenju polinoma – drugi probni prijemni FON 2021.

PostPoslato: Sreda, 23. Jun 2021, 15:41
od kagejama02
Uocio sam odmah gresku u svom postupku, hvala ti puno, sad mi je jasno :D

Re: Ostatak pri deljenju polinoma – drugi probni prijemni FON 2021.

PostPoslato: Sreda, 23. Jun 2021, 18:09
od Daniel
kagejama02 je napisao:[dispmath]P(x)=\left(20x^2-x-20\right)x^{20}+ax+b[/dispmath] ovde sam uvrstio jedno kompleksno resenje [inlmath](i)[/inlmath]

i za vrednosti [inlmath](a,b)[/inlmath] dobio [inlmath]a=40[/inlmath]; [inlmath]b=-1[/inlmath]

Negde imaš grešku, treba da se dobije [inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]b=40[/inlmath], kao što je Acim i napisao.

kagejama02 je napisao:Skontao sam da ako zamenim resenje [inlmath](-1)[/inlmath] u polinom, to sto dobijem mogu da izjednacim sa nulom,

Zašto izjednačavanje s nulom? S nulom bi trebalo izjednačiti kad bi [inlmath]P(x)[/inlmath] bio deljiv sa [inlmath]x^2-1[/inlmath] (jer bi tada ostatak bio nula), ali ovde to nije slučaj.

kagejama02 je napisao:Konkretno [inlmath]40=0[/inlmath],

Već kad imaš ovakvu jednakost (za koju se iz aviona vidi da ne može biti tačna), :) očigledno je da je postupak pogrešan.

Acim je napisao:imamo vrednosti [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] i one treba da budu jednake ostatku;
[dispmath]P\left(1\right)=R\left(1\right)=20-1-20+1+40=a+b\\
P\left(-1\right)=R\left(-1\right)=20+1-20-1+40=-a+b[/dispmath]

Čisto da se neko ne zbuni :) – ne treba vrednosti [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] da budu jednake ostatku, već treba da bude [inlmath]P(-1)=R(-1)[/inlmath] i [inlmath]P(1)=R(1)[/inlmath] (kako si, uostalom, u nastavku i napisao).