Ako se zna da je polinom [inlmath]x^3+ax^2+bx-4\;(a,b\in\mathbb{R})[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^2-1[/inlmath] tada zbir [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] iznosi?
Pomoć. Kako se radi ovo? Ne sećam se da smo nešto ovako radili.

Ako je polinom [inlmath]x^3+ax^2+bx-4[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^2-1[/inlmath], to znači da će sve nule polinoma [inlmath]x^2-1[/inlmath] biti istovremeno i nule polinoma [inlmath]x^3+ax^2+bx-4[/inlmath]. Evo i zbog čega je to tako:

Deljivost polinoma [inlmath]x^3+ax^2+bx-4[/inlmath] polinomom [inlmath]x^2-1[/inlmath] možemo predstaviti na sledeći način:
[dispmath]x^3+ax^2+bx-4=G\left(x\right)\cdot\left(x^2-1\right)[/dispmath]
gde je [inlmath]G\left(x\right)[/inlmath] količnik ta dva polinoma, koji nas, u ovom slučaju, ne zanima. Ako umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstimo neku od nula polinoma [inlmath]x^2-1[/inlmath] (a to su [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath]), tada će desna strana jednakosti postati nula, a samim tim, postaće nula i leva strana, odakle vidimo da su to istovremeno i nule polinoma [inlmath]x^3+ax^2+bx-4[/inlmath]. Na osnovu ovoga možemo, uvrštavanjem u polinom [inlmath]x^3+ax^2+bx-4[/inlmath] vrednosti [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath], formirati sistem od dve jednačine s dve nepoznate:
[dispmath]\left(-1\right)^3+a\left(-1\right)^2+b\left(-1\right)-4=0\\
1^3+a\cdot 1^2+b\cdot 1-4=0[/dispmath]
to jest
[dispmath]-1+a-b-4=0\\
1+a+b-4=0[/dispmath]
[dispmath]a-b=5\\
a+b=3[/dispmath]
Rešavanjem ovog sistema jednačina dobije se [inlmath]\left(a,b\right)=\left(4,-1\right)[/inlmath].
[dispmath]\Rightarrow\quad\enclose{box}{a^2+b^2=17}[/dispmath]

---

Drugi način – deljenjem polinoma:

Jednostavno podelimo polinom [inlmath]x^3+ax^2+bx-4[/inlmath] polinomom [inlmath]x^2-1[/inlmath] i postavimo uslov da je ostatak jednak nuli:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(x^3+ax^2+bx-4\right):\left(x^2-1\right)=x+a\\
\phantom{(}\underline{x^3-x}\\
\phantom{(x^3+}ax^2+\left(b+1\right)x-4\\
\phantom{(x^3+}\underline{ax^2-a}\\
\phantom{(x^3+ax^2-}\left(b+1\right)x+a-4
\end{array}[/dispmath]
Dakle, ostatak [inlmath]\left(b+1\right)x+a-4[/inlmath] mora biti jednak nuli:
[dispmath]\left(b+1\right)x+a-4=0\\
\Rightarrow\quad b+1=0\quad\land\quad a-4=0\\
\Rightarrow\quad b=-1,\quad a=4[/dispmath]
tj. dobije se isti rezultat kao i na prethodni način...

Kapiram sad.
Pokusavao sam deljenjem, ali se uvek negde pogubim.
Hvala!