Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Dvostruka nula i izvod polinoma

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Dvostruka nula i izvod polinoma

Postod stevan95 » Petak, 11. April 2014, 16:42

Odrediti vrednosti realnih parametara [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] za koje je polinom [inlmath]P(x)=x^5+2x^4+3x^2-ax+b[/inlmath] deljiv sa [inlmath](x-2)^2[/inlmath].

U primeru kaže da je ovo moguće samo ako su [inlmath]P(x)[/inlmath] i [inlmath]P'(x)[/inlmath] deljivi sa [inlmath](x-2)^2[/inlmath]. Jasno mi je da nakon što uradimo kako kažu, dobijamo sistem, a samim tim i tražene vrednosti, ali zbog čega izvod polinoma mora takođe biti deljiv sa [inlmath](x-2)^2[/inlmath]?
Uključite logiku i uživajte u matematici! :D
stevanpetrov.wordpress.com
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 140
Lokacija: Vršac
Zahvalio se: 166 puta
Pohvaljen: 71 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dvostruka nula i izvod polinoma

Postod Daniel » Petak, 11. April 2014, 18:29

Ne, prvi izvod, [inlmath]P'\left(x\right)[/inlmath], ne treba da bude deljiv sa [inlmath]\left(x-2\right)^2[/inlmath], već samo sa [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath].
Naime, kada [inlmath]a[/inlmath] predstavlja [inlmath]n[/inlmath]-tostruku nulu nekog polinoma, tada će, osim samog tog polinoma, i njegovih prvih [inlmath]n-1[/inlmath] izvoda takođe biti deljivi sa [inlmath]\left(x-a\right)[/inlmath], i to:
Sâm polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] biće deljiv sa [inlmath]\left(x-a\right)^n[/inlmath];
Prvi izvod polinoma, [inlmath]P'\left(x\right)[/inlmath] biće deljiv sa [inlmath]\left(x-a\right)^{n-1}[/inlmath];
Drugi izvod polinoma, [inlmath]P''\left(x\right)[/inlmath] biće deljiv sa [inlmath]\left(x-a\right)^{n-2}[/inlmath];
[inlmath]\vdots[/inlmath]
[inlmath]\left(n-1\right).[/inlmath] izvod polinoma, [inlmath]P^{\left(n-1\right)}\left(x\right)[/inlmath] biće deljiv sa [inlmath]\left(x-a\right)[/inlmath];
[inlmath]n[/inlmath]-ti i viši izvodi polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] neće biti deljivi sa [inlmath]\left(x-a\right)[/inlmath].

Evo i zbog čega je to tako. Kad je polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]\left(x-a\right)^n[/inlmath], tj. kada [inlmath]a[/inlmath] predstavlja [inlmath]n[/inlmath]-tostruku nulu tog polinoma, tada će jedan faktor tog polinoma sigurno biti [inlmath]\left(x-a\right)^n[/inlmath], pa se polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] može zapisati u sledećem obliku:
[dispmath]P\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n[/dispmath]
Prvi izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] biće:
[dispmath]P'\left(x\right)=\left[Q\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n\right]'=Q'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n+nQ\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-1}=\left[Q'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)+nQ\left(x\right)\right]\left(x-a\right)^{n-1}[/dispmath]
Prema tome, prvi izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] biće neki novi polinom kome [inlmath]a[/inlmath] predstavlja nulu [inlmath]\left(n-1\right).[/inlmath] reda, tj. nulu koja je za [inlmath]1[/inlmath] manjeg reda nego kod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath].
Odavde je već sasvim jasno da će svaki naredni izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] biti polinom kod koga [inlmath]a[/inlmath] predstavlja nulu svaki put za [inlmath]1[/inlmath] manjeg reda, al' evo da uradimo još i za drugi izvod...
Drugi izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] biće:
[dispmath]P''\left(x\right)=\left[Q'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n+nQ\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-1}\right]'[/dispmath][dispmath]P''\left(x\right)=Q''\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n+nQ'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-1}+nQ'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-1}+n\left(n-1\right)Q\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-2}[/dispmath][dispmath]P''\left(x\right)=Q''\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n+2nQ'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-1}+n\left(n-1\right)Q\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-2}[/dispmath][dispmath]P''\left(x\right)=\left[Q''\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^2+2nQ'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)+n\left(n-1\right)Q\left(x\right)\right]\left(x-a\right)^{n-2}[/dispmath]
odakle se vidi da je drugi izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] neki novi polinom kome [inlmath]a[/inlmath] predstavlja nulu [inlmath]\left(n-2\right).[/inlmath] reda, tj. nulu koja je za [inlmath]2[/inlmath] manjeg reda nego kod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath].

Na osnovu ovoga zaključujemo da će [inlmath]k[/inlmath]-ti izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], pod uslovom da je [inlmath]k<n[/inlmath], biti polinom kod kojeg [inlmath]a[/inlmath] predstavlja nulu [inlmath]\left(n-k\right).[/inlmath] reda. Za [inlmath]k\ge n[/inlmath], [inlmath]a[/inlmath] neće biti nula [inlmath]k[/inlmath]-tog izvoda polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath].



E, u ovom zadatku, pošto je polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath](x-2)^2[/inlmath], znači da je [inlmath]2[/inlmath] dvostruka nula tog polinoma, tj. da će to biti nula kako polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], tako i njegovog izvoda, [inlmath]P'\left(x\right)[/inlmath]. Tačnije, za [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] će [inlmath]2[/inlmath] biti dvostruka, a za [inlmath]P'\left(x\right)[/inlmath] jednostruka nula. Ali, bez obzira na to, pri pisanju sistema jednačina ne uzimamo u obzir to da li je [inlmath]2[/inlmath] jednostruka ili dvostruka nula, već samo uzimamo u obzir to da [inlmath]2[/inlmath] jeste nula kako polinoma, tako i njegovog izvoda. Odatle te dve jednačine – [inlmath]P\left(2\right)=0[/inlmath] i [inlmath]P'\left(2\right)=0[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 39 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 15:15 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs