od Daniel » Petak, 11. April 2014, 18:29
Ne, prvi izvod, [inlmath]P'\left(x\right)[/inlmath], ne treba da bude deljiv sa [inlmath]\left(x-2\right)^2[/inlmath], već samo sa [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath].
Naime, kada [inlmath]a[/inlmath] predstavlja [inlmath]n[/inlmath]-tostruku nulu nekog polinoma, tada će, osim samog tog polinoma, i njegovih prvih [inlmath]n-1[/inlmath] izvoda takođe biti deljivi sa [inlmath]\left(x-a\right)[/inlmath], i to:
Sâm polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] biće deljiv sa [inlmath]\left(x-a\right)^n[/inlmath];
Prvi izvod polinoma, [inlmath]P'\left(x\right)[/inlmath] biće deljiv sa [inlmath]\left(x-a\right)^{n-1}[/inlmath];
Drugi izvod polinoma, [inlmath]P''\left(x\right)[/inlmath] biće deljiv sa [inlmath]\left(x-a\right)^{n-2}[/inlmath];
[inlmath]\vdots[/inlmath]
[inlmath]\left(n-1\right).[/inlmath] izvod polinoma, [inlmath]P^{\left(n-1\right)}\left(x\right)[/inlmath] biće deljiv sa [inlmath]\left(x-a\right)[/inlmath];
[inlmath]n[/inlmath]-ti i viši izvodi polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] neće biti deljivi sa [inlmath]\left(x-a\right)[/inlmath].
Evo i zbog čega je to tako. Kad je polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]\left(x-a\right)^n[/inlmath], tj. kada [inlmath]a[/inlmath] predstavlja [inlmath]n[/inlmath]-tostruku nulu tog polinoma, tada će jedan faktor tog polinoma sigurno biti [inlmath]\left(x-a\right)^n[/inlmath], pa se polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] može zapisati u sledećem obliku:
[dispmath]P\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n[/dispmath]
Prvi izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] biće:
[dispmath]P'\left(x\right)=\left[Q\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n\right]'=Q'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n+nQ\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-1}=\left[Q'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)+nQ\left(x\right)\right]\left(x-a\right)^{n-1}[/dispmath]
Prema tome, prvi izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] biće neki novi polinom kome [inlmath]a[/inlmath] predstavlja nulu [inlmath]\left(n-1\right).[/inlmath] reda, tj. nulu koja je za [inlmath]1[/inlmath] manjeg reda nego kod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath].
Odavde je već sasvim jasno da će svaki naredni izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] biti polinom kod koga [inlmath]a[/inlmath] predstavlja nulu svaki put za [inlmath]1[/inlmath] manjeg reda, al' evo da uradimo još i za drugi izvod...
Drugi izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] biće:
[dispmath]P''\left(x\right)=\left[Q'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n+nQ\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-1}\right]'[/dispmath][dispmath]P''\left(x\right)=Q''\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n+nQ'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-1}+nQ'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-1}+n\left(n-1\right)Q\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-2}[/dispmath][dispmath]P''\left(x\right)=Q''\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^n+2nQ'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-1}+n\left(n-1\right)Q\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^{n-2}[/dispmath][dispmath]P''\left(x\right)=\left[Q''\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)^2+2nQ'\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)+n\left(n-1\right)Q\left(x\right)\right]\left(x-a\right)^{n-2}[/dispmath]
odakle se vidi da je drugi izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] neki novi polinom kome [inlmath]a[/inlmath] predstavlja nulu [inlmath]\left(n-2\right).[/inlmath] reda, tj. nulu koja je za [inlmath]2[/inlmath] manjeg reda nego kod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath].
Na osnovu ovoga zaključujemo da će [inlmath]k[/inlmath]-ti izvod polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], pod uslovom da je [inlmath]k<n[/inlmath], biti polinom kod kojeg [inlmath]a[/inlmath] predstavlja nulu [inlmath]\left(n-k\right).[/inlmath] reda. Za [inlmath]k\ge n[/inlmath], [inlmath]a[/inlmath] neće biti nula [inlmath]k[/inlmath]-tog izvoda polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath].
E, u ovom zadatku, pošto je polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath](x-2)^2[/inlmath], znači da je [inlmath]2[/inlmath] dvostruka nula tog polinoma, tj. da će to biti nula kako polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], tako i njegovog izvoda, [inlmath]P'\left(x\right)[/inlmath]. Tačnije, za [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] će [inlmath]2[/inlmath] biti dvostruka, a za [inlmath]P'\left(x\right)[/inlmath] jednostruka nula. Ali, bez obzira na to, pri pisanju sistema jednačina ne uzimamo u obzir to da li je [inlmath]2[/inlmath] jednostruka ili dvostruka nula, već samo uzimamo u obzir to da [inlmath]2[/inlmath] jeste nula kako polinoma, tako i njegovog izvoda. Odatle te dve jednačine – [inlmath]P\left(2\right)=0[/inlmath] i [inlmath]P'\left(2\right)=0[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain