Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Greška u zadatku? Lopta upisana u zarubljenu kupu – prijemni FTN 2015, 8. zadatak

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Greška u zadatku? Lopta upisana u zarubljenu kupu – prijemni FTN 2015, 8. zadatak

Postod štime » Subota, 13. Jun 2020, 22:32

U pravu zarubljenu kupu čiji je poluprečnik veće osnove [inlmath]R[/inlmath], a izvodnica [inlmath]s=5[/inlmath], upisana je lopta. Izraziti visinu [inlmath]H[/inlmath] zarubljene kupe u funkciji poluprečnika [inlmath]R[/inlmath].

Zadatak je vrlo jednostavan za rešavanje. Rešava se tako što se prepozna da je osni presek zarubljene kupe sa upisanom loptom zapravo tangentni četvorougao i iz te činjenice lako proizilazi traženo. Ali, ono što je mene zbunilo i zašto mislim da je u pitanju greška jeste kad se prvi put neko susretne sa ovakvim zadatkom vrlo lako može da dođe do nesigurnosti da li gornja osnova zarubljene kupe dotiče loptu ili ne, e sad ja nikako ne mogu da shvatim čime se to u rečenici postavke zadatka odbacuje? Ako dotiče onda se zadatak rešava na pomenuti način, a ako ne dotiče onda zadatak nema rešenja. Vrlo je verovatno da sam nešto loše razumeo. Ali eto, baš me zanima u čemu je stvar i da li grešim. Jer ja recimo taj zadatak ne bih rešio samo zbog te nejasnoće.

Malo i slike nije na odmet:
Prikačeni fajlovi
nedoumica.png
nedoumica.png (1.18 KiB) Pogledano 1084 puta
štime  OFFLINE
 
Postovi: 31
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Greška u zadatku? Lopta upisana u zarubljenu kupu – prijemni FTN 2015, 8. zadatak

Postod štime » Nedelja, 14. Jun 2020, 01:38

Evo naleteo sam na još dva slična zadatka, i mislim da mogu da zaključim da se zadaci tako nekakvog tipa podrazumevaju da se dodiruju.
Evo na primer: "Lopta površine [inlmath]S[/inlmath] upisana je u pravu zarubljenu kružnu kupu. Ugao koji izvodnica te kupe obrazuje sa većom osnovom jednak je [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Izračunati površinu omotača zarubljene kupe".
štime  OFFLINE
 
Postovi: 31
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Greška u zadatku? Lopta upisana u zarubljenu kupu – prijemni FTN 2015, 8. zadatak

Postod miletrans » Nedelja, 14. Jun 2020, 02:30

Nema nikakve greške. Zna se šta znači kada je lopta upisana u geometrijsko telo. Da je pisalo da se "... u zarubljenoj kupi nalazi lopta..." ili nešto slično, onda ne bismo mogli da rešimo zadatak bez dodatnih informacija.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

  • +2

Re: Greška u zadatku? Lopta upisana u zarubljenu kupu – prijemni FTN 2015, 8. zadatak

Postod Daniel » Nedelja, 14. Jun 2020, 10:50

Uostalom, znamo i šta znači tangentni četvorougao – to je četvorougao u koji je moguće upisati kružnicu. Kada pod upisanom kružnicom ne bismo podrazumevali kružnicu koja dodiruje sve stranice, onda bismo mogli reći i da je svaki četvorougao tangentni, a znamo da to nije tačno. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Greška u zadatku? Lopta upisana u zarubljenu kupu – prijemni FTN 2015, 8. zadatak

Postod štime » Nedelja, 14. Jun 2020, 14:42

@miletrans, hvala.
@Daniel, vrlo lepo pojašnjenje, nekako ima smisla, jer kad god bi neko rekao upisan krug u četvorougao to po "automatu" znači da dodiruje sve stranice, na to sam se nekako navikao pa nikada ni nisam postavljao pitanja. A logično je da će se transformacija usvojiti i sa figure na telo.
štime  OFFLINE
 
Postovi: 31
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Greška u zadatku? Lopta upisana u zarubljenu kupu – prijemni FTN 2015, 8. zadatak

Postod Square » Subota, 11. Mart 2023, 22:47

Rešenje zadatka:
Neka je [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik manje osnove date zarubljene kupe. Kako je u pravu zarubljenu kupu upisana lopta, osni presek zarubljene kupe je jednakokraki trapez u koji je upisan krug. Otuda je taj trapez tangentan četvorougao, pa važi [inlmath]2R+2r=2s[/inlmath], odnosno [inlmath]r=5-R[/inlmath]. S druge strane, iz pravouglog trougla čija je hipotenuza izvodnica, a katete visina i razlika poluprečnika osnova zarubljene kupe, koristeći Pitagorinu teoremu dobijamo [inlmath]H^2=s^2-(R-r)^2=25-(2R-5)^2=-4R^2+20R[/inlmath], te je [inlmath]H=2\sqrt{5R-R^2}[/inlmath].

Moje pitanje je zbog cega ovde nismo uzeli
[dispmath]H=\left|−4R^2+20R\right|\\
-4R^2+20R>0\quad\Longrightarrow\quad H=2\sqrt{5R-R^2}\\
−4R^2+20R<0\quad\Longrightarrow\quad H=-2\sqrt{5R-R^2}[/dispmath] Bilo bi mi stvarno od pomoći da mi neko odgovori jer sam nedavno naleteo na sličan zadatak i ni tada mi nije bilo jasno.
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 13. Mart 2023, 00:55, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika
Square  OFFLINE
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Greška u zadatku? Lopta upisana u zarubljenu kupu – prijemni FTN 2015, 8. zadatak

Postod Fare » Subota, 11. Mart 2023, 23:29

Nemoj zaboraviti uslov [inlmath]0<R<5[/inlmath], jer tada je [inlmath]-4R^2+20R>0[/inlmath].
Takođje, iz [inlmath]H^2=-4R^2+20R[/inlmath] sledi da je [inlmath]H=\pm\sqrt{-4R^2+20R}[/inlmath], a ne [inlmath]H=\left|-4R^2+20R\right|[/inlmath] kako si napisao.
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

Re: Greška u zadatku? Lopta upisana u zarubljenu kupu – prijemni FTN 2015, 8. zadatak

Postod Square » Subota, 11. Mart 2023, 23:52

A jel ovaj uslov [inlmath]0<R<5[/inlmath] proizlazi iz [inlmath]r=5-R\;\Longrightarrow\;5-R>0[/inlmath] odnosno [inlmath]R<5[/inlmath], a kako [inlmath]R[/inlmath] mora biti [inlmath]>0[/inlmath] znači da će se [inlmath]R[/inlmath] nalaziti u intervalu [inlmath](0,5)[/inlmath]?
Square  OFFLINE
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Greška u zadatku? Lopta upisana u zarubljenu kupu – prijemni FTN 2015, 8. zadatak

Postod Fare » Nedelja, 12. Mart 2023, 00:09

Da. Da je [inlmath]R\ge s[/inlmath] u trapez se ne bi mogao upisati krug.
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

Re: Greška u zadatku? Lopta upisana u zarubljenu kupu – prijemni FTN 2015, 8. zadatak

Postod Square » Nedelja, 12. Mart 2023, 03:10

Hvalaa puno
Square  OFFLINE
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 44 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs