MATEMANIJA

Odrediti duzinu stranice romba [inlmath]ABCD[/inlmath] ako je [inlmath]\angle DAB=30^\circ[/inlmath], a dijagonala [inlmath]AC=4[/inlmath].

Ja samo dobio resenje [inlmath]2\left(\sqrt 6-\sqrt 2\right)[/inlmath], a u resenju je [inlmath]4\sqrt{2-\sqrt 3}[/inlmath].
Mislim da su ova dva izraza jednaka. A i izgleda mi kao da postoji nekoliko nacina da se ovaj zadatak resi?
Mozda ovaj zadatak ne pripada ovde, ali ja sam ovde postavio, jer sam primenio trigonometriju u resavanju.

Prebačeno u rubriku "geometrija".

Da, tvoje rešenje je ekvivalentno njihovom, tj. ova dva izraza jesu jednaka.

Način koji se meni čini najjednostavnijim ovde jeste da se prvo izračuna ugao [inlmath]\angle ABC=150^\circ[/inlmath].
Onda preostaje da iskoristiš kosinusnu teoremu:
[dispmath]16=2a^2-2a^2\cos 150^\circ[/dispmath][dispmath]16=2a^2+a^2\sqrt{3}[/dispmath][dispmath]a=\sqrt{\frac{16}{2+\sqrt{3}}}=\frac{4}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}=4\sqrt{2-\sqrt{3}}[/dispmath]

Inače, da su izrazi [inlmath]2\left(\sqrt 6-\sqrt 2\right)[/inlmath] i [inlmath]4\sqrt{2-\sqrt 3}[/inlmath] jednaki možeš videti u ovom ili u ovom postu, u kojima sam to pokazivao, a do toga je, takođe, moguće doći i uz pomoć Lagrange-ovog identiteta, koji glasi
[dispmath]\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}[/dispmath]
u koji uvrstiš [inlmath]a=2[/inlmath] i [inlmath]b=3[/inlmath].