MATEMANIJA

Zapremina kvadra je [inlmath]2080[/inlmath], povrsina [inlmath]996[/inlmath], a obim osnove [inlmath]58[/inlmath]. Odrediti duzine osnovnih ivica kvadra.
Mozda ovo ne pripada ovde, ali ne zamerite morao sam da postavim, jer rucno racunanje korena iz ovakvih brojeva oduzima dosta vremena.
Ja sam uradio, nego me interesuje kako bi se nasao[inlmath]\sqrt{6724}[/inlmath]. U tom zadatku se pojavljuje puno velikih brojeva, pa zato pitam. Ja sam ovaj broj napisao kao [inlmath]2\cdot 2\cdot 1681[/inlmath]. I dalje ne znam, a ono je [inlmath]41\cdot 41=1681[/inlmath]. (To sam nasao uz pomoc digitrona). Da li postoji neki nacin za nalazenje korena ovako velikih brojeva?

Da, postoji. Ali, u ovom tvom slučaju zaista nema potrebe za time, budući da se kao rezultat korenovanja dobije ceo broj, pa to može i mnogo jednostavnije da se odradi.

Odlično si uradio što si [inlmath]6724[/inlmath] krenuo da rastavljaš na činioce. Dobio si, dakle, da je on jednak [inlmath]2\cdot 2\cdot 1681[/inlmath], tako da dvojka izlazi ispred korena, a [inlmath]1681[/inlmath] ostaje pod korenom. Sada bi zaista bilo mukotrpno ako bismo isprobavali jedan po jedan prost broj da li je [inlmath]1681[/inlmath] njime deljiv, jer dok stignemo do [inlmath]41[/inlmath]... Umesto toga, možemo da „napipavamo“. [inlmath]30^2[/inlmath] je [inlmath]900[/inlmath], a pošto je [inlmath]1681>900[/inlmath], znači da je [inlmath]\sqrt{1681}>30[/inlmath]. Dalje, [inlmath]50^2[/inlmath] je [inlmath]2500[/inlmath], a pošto je [inlmath]1681<2500[/inlmath], znači da je [inlmath]\sqrt{1681}<50[/inlmath]. Eto, polako sužavamo obruč. [inlmath]40^2=1600[/inlmath], a [inlmath]1681[/inlmath] jeste veći od [inlmath]1600[/inlmath], ali ne mnogo veći, što znači da smo blizu. Da pokušamo s prvim sledećim prirodnim brojem posle [inlmath]40[/inlmath], a to je [inlmath]41[/inlmath], pa dobijamo [inlmath]41^2=1681[/inlmath] – eto ga.

Možda ti u ovom „napipavanju“ može biti koristan i podatak da, ako neki prirodan broj kvadriranjem daje broj čija je poslednja cifra [inlmath]1[/inlmath] (kao u ovom slučaju), tada poslednja cifra tog broja koji se kvadrira mora biti ili [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]9[/inlmath]. To jest, kad korenujemo prirodan broj čija je poslednja cifra [inlmath]1[/inlmath] i ako kao rezultat korenovanja dobijamo takođe prirodan broj, tada poslednja cifra tog prirodnog broja koji predstavlja rezultat korenovanja – mora biti [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]9[/inlmath].