MATEMANIJA

Kocka dužine ivice [inlmath]a=10\mbox{ cm}[/inlmath] presečena je jednom ravni na dva kvadra. Odrediti odnos zapremina tih kvadra ako je odnos njihovih površina [inlmath]2:3[/inlmath].
Ja sam napisao da zbir površina ta dva kvadra daje površinu celog kvadra, a zatim sam video da je to potpuno netačno. Ostavio sam za kraj da rešim drugačije, ali nisam imao dovoljno vremena.

A drugi glasi: Koliko je različitih ravni određeno temenima kocke [inlmath]ABCDA_1B_1C_1D_1[/inlmath]?
Ja sam tu napisao: Ravan je određena sa [inlmath]3[/inlmath] nekolinearne tačke i dobio nekako [inlmath]18[/inlmath] ravni.
Možda ovaj drugi baš ne spada u oblast Geometriju, ali tu sam ga smestio.

1) Presecanjem kocke ivice [inlmath]a[/inlmath] na dva dela dobiju se dve pravilne četvorostrane prizme čije baze imaju stranicu [inlmath]a[/inlmath], sa visinama [inlmath]H_1[/inlmath] i [inlmath]H_2[/inlmath].

Površine tih kocki su: [inlmath]P_1=2a^2+4aH_1[/inlmath] i [inlmath]P_2=2a^2+4aH_2[/inlmath]
Odnos tih površina je dat, i iznosi [inlmath]2:3[/inlmath]. Otuda je:
[dispmath]\frac{P_1}{P_2}=\frac23=\frac{2a^2+4aH_1}{2a^2+4aH_2}[/dispmath]
Kada se uvrsti vrednost [inlmath]a=10[/inlmath] dobija se jednačina:
[dispmath]\frac23=\frac{200+40H_1}{200+40H_2}[/dispmath][dispmath]3H_1+5=2H_2[/dispmath]
Kako važi i [inlmath]H_1+H_2=a=10[/inlmath], dobija se sistem po [inlmath]H_1[/inlmath] i [inlmath]H_2[/inlmath] čije rešenje daje [inlmath]H_1=3[/inlmath] i [inlmath]H_2=7[/inlmath]

Odnos zapremina je sada lako naći pošto se obe mogu odavde izračunati. Takođe:
[dispmath]\frac{V_1}{V_2}=\frac{a^2H_1}{a^2H_2}=\frac{H_1}{H_2}=\frac37[/dispmath]
2) Tačno je da je ravan određena sa tri nekolinearne tačke, međutim, temenima kocke je određeno [inlmath]20[/inlmath] ravni.

Stranama kocke odgovara [inlmath]6[/inlmath] ravni.
Preseci koji idu od ivice do naspramne ivice i polove kocku daju još [inlmath]6[/inlmath] ravni.
Dijagonala strane + teme druge strane (ne bilo koje jer bi to davalo ravni koje su već uračunate) daju još [inlmath]8[/inlmath] ravni.

Ukupno je to [inlmath]6+6+8=20[/inlmath].